Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3720
2019-06-16 
На шахматной доске $8 \times 8$ двое играют в игру «кошки-мышки». У первого одна фишка - мышка, у второго несколько фишек - кошек. Все фишки ходят одинаково: вправо, влево, вверх или вниз на одну клетку. Если мышка оказалась на краю доски, то очередным ходом она спрыгивает с доски. Если
кошка и мышка попадают на одну и ту же клетку, то кошка съедает мышку.
Играющие ходят по очереди, причем второй передвигает своим ходом всех своих кошек сразу (разных кошек можно при этом сдвигать в разных направлениях). Начинает мышка. Она старается спрыгнуть с доски, а кошки стараются до этого ее съесть.
а) Пусть кошек всего две. Мышка уже поставлена на какую-то клетку не на краю. Можно ли так поставить кошек на краю доски, чтобы они сумели съесть мышку?
б) Пусть кошек три, но зато мышка имеет лишний ход: в первый раз она делает два хода подряд. Докажите, что мышка сможет убежать от кошек, каково бы ни было начальное расположение фишек.
Решение:
а) Ответ: можно. При любом положении мышки следует поместить кошек так, чтобы мышка находилась на отрезке между ними, параллельном одной из диагоналей доски, и в ответ на любой ход мышки перемещать кошек так, чтобы мышка по-прежнему была между ними на прямой, параллельной диагонали.
б) Проведем через мышку два отрезка, параллельных диагоналям, и исключим клетки этих отрезков. В одной из четырех оставшихся частей доски кошек нет, и мышка должна идти в эту часть по направлению к краю. Ясно, что кошки не смогут ее поймать, так как после любого хода кошек перед мышкой в направлении ее движения будет свободная от кошек часть доски.
На шахматной доске $8 \times 8$ двое играют в игру «кошки-мышки». У первого одна фишка - мышка, у второго несколько фишек - кошек. Все фишки ходят одинаково: вправо, влево, вверх или вниз на одну клетку. Если мышка оказалась на краю доски, то очередным ходом она спрыгивает с доски. Если
кошка и мышка попадают на одну и ту же клетку, то кошка съедает мышку.
Играющие ходят по очереди, причем второй передвигает своим ходом всех своих кошек сразу (разных кошек можно при этом сдвигать в разных направлениях). Начинает мышка. Она старается спрыгнуть с доски, а кошки стараются до этого ее съесть.
а) Пусть кошек всего две. Мышка уже поставлена на какую-то клетку не на краю. Можно ли так поставить кошек на краю доски, чтобы они сумели съесть мышку?
б) Пусть кошек три, но зато мышка имеет лишний ход: в первый раз она делает два хода подряд. Докажите, что мышка сможет убежать от кошек, каково бы ни было начальное расположение фишек.
Решение:
а) Ответ: можно. При любом положении мышки следует поместить кошек так, чтобы мышка находилась на отрезке между ними, параллельном одной из диагоналей доски, и в ответ на любой ход мышки перемещать кошек так, чтобы мышка по-прежнему была между ними на прямой, параллельной диагонали.
б) Проведем через мышку два отрезка, параллельных диагоналям, и исключим клетки этих отрезков. В одной из четырех оставшихся частей доски кошек нет, и мышка должна идти в эту часть по направлению к краю. Ясно, что кошки не смогут ее поймать, так как после любого хода кошек перед мышкой в направлении ее движения будет свободная от кошек часть доски.
