Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3718
2019-06-16 
Найдите все натуральные числа $n$ и $k$ такие, что $n^n$ имеет $k$ цифр, a $k$ имеет $n$ цифр.
Решение:
Если $n^n$ имеет $k$ цифр, а $k^k - n$ цифр, то $10^{k-1} \leq n^n < 10^k$ и $10^{n-1} \leq k^k < 10^n$. Пусть, для определенности, $n \geq к$. Тогда $n^n < 10^n$, т. е. $n < 10$ и $k < 10$. Осталось проверить, что $2^2 < 10, 3^3 < 100, 4^4 < 10^3, 5^5 < 10^4, 6^6 < 10^5, 7^7 < 10^6, 10^7 < 8^8 < 10^8, 10^8 < 9^9 < 10^9$.
Ответ: $n = k$ и $k = 1, 8$ или 9.
Найдите все натуральные числа $n$ и $k$ такие, что $n^n$ имеет $k$ цифр, a $k$ имеет $n$ цифр.
Решение:
Если $n^n$ имеет $k$ цифр, а $k^k - n$ цифр, то $10^{k-1} \leq n^n < 10^k$ и $10^{n-1} \leq k^k < 10^n$. Пусть, для определенности, $n \geq к$. Тогда $n^n < 10^n$, т. е. $n < 10$ и $k < 10$. Осталось проверить, что $2^2 < 10, 3^3 < 100, 4^4 < 10^3, 5^5 < 10^4, 6^6 < 10^5, 7^7 < 10^6, 10^7 < 8^8 < 10^8, 10^8 < 9^9 < 10^9$.
Ответ: $n = k$ и $k = 1, 8$ или 9.
