Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3715
2019-06-16 
При каких действительных $a, b, c$ равенство
$|ax + by + cz| + |bx + xy + az| + |cx + ay + bz| = |x| + |y| + |z|$
верно для всех действительных $x, y, z$?
Решение:
Ответ: два из чисел $a, b, c$ равны 0, третье $\pm 1$ (всего 6 решений).
Подставляя в условие последовательно: $x = у = z = 1$, затем $x = y = 0, z = 1$, и, наконец, $x = 1, y = -1, z = 0$, получим систему $|a + b + c| = 1, |a| + |b| + |c| = 1, |a - b| + |b - c| + |c - a| = 2$. Так как $|a + b + c| = |a| + |b| + |c|$, то все числа $a, b, c$ одного знака, т.е. $ab \geq 0$, $bc \geq 0, ac \geq 0$. Однако в неравенстве
$|a - b| + |b - c| + |c - a| \leq 2 |a| + 2|b| + 2|c| = 2$
(вытекающем из $|a - b| \leq |a| + |b|$ и двух аналогичных) равенство возможно лишь при $ab \leq 0, bc \leq 0, ac \leq 0$. Отсюда $ab = bc = ac = 0$, так что два из чисел $a, b, c$ равны 0, а третье (как видно из любого из трех уравнений) по модулю равно 1.
При каких действительных $a, b, c$ равенство
$|ax + by + cz| + |bx + xy + az| + |cx + ay + bz| = |x| + |y| + |z|$
верно для всех действительных $x, y, z$?
Решение:
Ответ: два из чисел $a, b, c$ равны 0, третье $\pm 1$ (всего 6 решений).
Подставляя в условие последовательно: $x = у = z = 1$, затем $x = y = 0, z = 1$, и, наконец, $x = 1, y = -1, z = 0$, получим систему $|a + b + c| = 1, |a| + |b| + |c| = 1, |a - b| + |b - c| + |c - a| = 2$. Так как $|a + b + c| = |a| + |b| + |c|$, то все числа $a, b, c$ одного знака, т.е. $ab \geq 0$, $bc \geq 0, ac \geq 0$. Однако в неравенстве
$|a - b| + |b - c| + |c - a| \leq 2 |a| + 2|b| + 2|c| = 2$
(вытекающем из $|a - b| \leq |a| + |b|$ и двух аналогичных) равенство возможно лишь при $ab \leq 0, bc \leq 0, ac \leq 0$. Отсюда $ab = bc = ac = 0$, так что два из чисел $a, b, c$ равны 0, а третье (как видно из любого из трех уравнений) по модулю равно 1.
