Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3714
2019-06-16 
На плоскости даны $n$ векторов, длина каждого из которых равна 1. Сумма всех $n$ векторов равна нулевому вектору. Докажите, что векторы можно занумеровать так, чтобы при всех $k = l, 2, \cdots, n$ выполнялось следующее условие: сумма первых $k$ векторов имеет длину не более 2.
Решение:
Отложим все векторы от некоторой точки $O$. Докажем, что если уже выбраны $k$ векторов с суммой $s = \vec {OS}$ (рис.) $|s| \leq 1$, то из остальных векторов можно выбрать либо один вектор $a$, для которого $|s + a| \leq 1$, либо два вектора $b$ и $c$, для которых $|s + b + c| \leq 1$. В самом деле, если среди остальных векторов есть вектор $a$, для которого $\angle (a, s) \geq 120^{\circ}$, то $|s + a| \leq 1$. Если же такого вектора нет, то, так как по обе стороны от прямой $OS$ есть векторы системы, можно выбрать в качестве $\vec{b}$ вектор одной из двух полуплоскостей, образующий наибольший угол с вектором $s$. Точно так же в другой полуплоскости выбирается вектор $с$. Ясно, что один из углов - $\angle (c, s)$ или $\angle (b, s)$ - тупой, а $\angle (b, c) > 120^{\circ}$. Пусть, например, $\angle (b, s) > 90^{\circ}$. Тогда $|s + b| < \sqrt 2$, а $\angle (b + c, s) > 120^{\circ}$ и поэтому $|s + b + c| \leq 1$. Таким образом, если присоединять к системе с суммой $s$ сначала вектор $b$, a затем $с$, то сумма после каждого шага будет меньше $\sqrt{2}$.
Мы доказали, что в условии 2 можно заменить на $\sqrt{2}$. Более тонкие рассуждения показывают, что всегда можно так занумеровать векторы, что сумма первых из них будет не больше чем $\frac{ \sqrt{5}}{2}$, причем эта оценка уже точная: пример $2n + 1$ векторов - один $-1,0)$, $n$ штук $\left ( \frac{1}{n}, \sqrt {1 - \frac{1}{n^2}} \right )$ и $n$ штук $\left ( \frac{1}{n}, - \sqrt {1 - \frac{1}{n^2}} \right )$ показывает, что константу $\frac{ \sqrt{5}}{2}$ нельзя заменить меньшей.
Аналогичную теорему (оно называется леммой Штейница) можно доказать и для $m$-мерного пространства, причем (для любой «нормы» векторов) соответствующая константа Штейница не превосходит $m$.
На плоскости даны $n$ векторов, длина каждого из которых равна 1. Сумма всех $n$ векторов равна нулевому вектору. Докажите, что векторы можно занумеровать так, чтобы при всех $k = l, 2, \cdots, n$ выполнялось следующее условие: сумма первых $k$ векторов имеет длину не более 2.
Решение:
Отложим все векторы от некоторой точки $O$. Докажем, что если уже выбраны $k$ векторов с суммой $s = \vec {OS}$ (рис.) $|s| \leq 1$, то из остальных векторов можно выбрать либо один вектор $a$, для которого $|s + a| \leq 1$, либо два вектора $b$ и $c$, для которых $|s + b + c| \leq 1$. В самом деле, если среди остальных векторов есть вектор $a$, для которого $\angle (a, s) \geq 120^{\circ}$, то $|s + a| \leq 1$. Если же такого вектора нет, то, так как по обе стороны от прямой $OS$ есть векторы системы, можно выбрать в качестве $\vec{b}$ вектор одной из двух полуплоскостей, образующий наибольший угол с вектором $s$. Точно так же в другой полуплоскости выбирается вектор $с$. Ясно, что один из углов - $\angle (c, s)$ или $\angle (b, s)$ - тупой, а $\angle (b, c) > 120^{\circ}$. Пусть, например, $\angle (b, s) > 90^{\circ}$. Тогда $|s + b| < \sqrt 2$, а $\angle (b + c, s) > 120^{\circ}$ и поэтому $|s + b + c| \leq 1$. Таким образом, если присоединять к системе с суммой $s$ сначала вектор $b$, a затем $с$, то сумма после каждого шага будет меньше $\sqrt{2}$.
Мы доказали, что в условии 2 можно заменить на $\sqrt{2}$. Более тонкие рассуждения показывают, что всегда можно так занумеровать векторы, что сумма первых из них будет не больше чем $\frac{ \sqrt{5}}{2}$, причем эта оценка уже точная: пример $2n + 1$ векторов - один $-1,0)$, $n$ штук $\left ( \frac{1}{n}, \sqrt {1 - \frac{1}{n^2}} \right )$ и $n$ штук $\left ( \frac{1}{n}, - \sqrt {1 - \frac{1}{n^2}} \right )$ показывает, что константу $\frac{ \sqrt{5}}{2}$ нельзя заменить меньшей.
Аналогичную теорему (оно называется леммой Штейница) можно доказать и для $m$-мерного пространства, причем (для любой «нормы» векторов) соответствующая константа Штейница не превосходит $m$.
