Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3713
2019-06-16 
Даны две окружности радиусов $R$ и $r$, касающиеся внешним образом. Строятся различные трапеции $ABCD$ так, чтобы каждая из окружностей касалась обеих боковых сторон и одного из оснований трапеции. Найдите наименьшую возможную длину боковой стороны $AB$.
Решение:
Из подобия треугольников $O_1K_1P$ и $PK_2O_2$ (обозначения ясны из рис.) получим $K^{ \prime}P^{ \prime} \cdot PK_2 = Rr$, а из подобия $\triangle A_1K_1O_1$ и $A_2K_2O_2$ следует, что $A_1K_1 \cdot K_2A_2 = Rr$. Теперь без труда получаем равенство $K_1P = PK_2 = \sqrt{Rr}$, а также неравенство $A_1K_1 + K_2A_2 \geq 2 \sqrt{Rr}$ (среднее арифметическое не меньше среднего геометрического)» Итак, если точка $A_2$, для которой $K_2A_2 = \sqrt{Rr}$, лежит между $K_2$ и $L$, то длина наименьшей боковой стороны трапеции равна $A_1K_1 + K_1K_2 + K_2A_2 = 4 \sqrt{Rr}$. Если же $A_2K_2 \geq K_2L$, т. е. $\sqrt{Rr} \geq \sqrt{Rr} \frac{2r}{R - r} = q, R \geq 3r$, то
$A_1A_2 > 2 \sqrt{Rr} + q + \frac{Rr}{q} = \sqrt{Rr} \frac {(R + r)^2}{2r (R - r)}$.
Таким образом, если $3r > R$, то минимальная длина боковой стороны равна $4 \sqrt{Rr}$.
Если же $3r \leq R$, то трапеции с минимальной длиной боковой стороны нет. При этом можно утверждать, что длина боковой стороны больше чем $\sqrt{Rr} \frac {(R+r)^2}{2r(R-r)}$ (оценка точная).
Даны две окружности радиусов $R$ и $r$, касающиеся внешним образом. Строятся различные трапеции $ABCD$ так, чтобы каждая из окружностей касалась обеих боковых сторон и одного из оснований трапеции. Найдите наименьшую возможную длину боковой стороны $AB$.
Решение:
Из подобия треугольников $O_1K_1P$ и $PK_2O_2$ (обозначения ясны из рис.) получим $K^{ \prime}P^{ \prime} \cdot PK_2 = Rr$, а из подобия $\triangle A_1K_1O_1$ и $A_2K_2O_2$ следует, что $A_1K_1 \cdot K_2A_2 = Rr$. Теперь без труда получаем равенство $K_1P = PK_2 = \sqrt{Rr}$, а также неравенство $A_1K_1 + K_2A_2 \geq 2 \sqrt{Rr}$ (среднее арифметическое не меньше среднего геометрического)» Итак, если точка $A_2$, для которой $K_2A_2 = \sqrt{Rr}$, лежит между $K_2$ и $L$, то длина наименьшей боковой стороны трапеции равна $A_1K_1 + K_1K_2 + K_2A_2 = 4 \sqrt{Rr}$. Если же $A_2K_2 \geq K_2L$, т. е. $\sqrt{Rr} \geq \sqrt{Rr} \frac{2r}{R - r} = q, R \geq 3r$, то
$A_1A_2 > 2 \sqrt{Rr} + q + \frac{Rr}{q} = \sqrt{Rr} \frac {(R + r)^2}{2r (R - r)}$.
Таким образом, если $3r > R$, то минимальная длина боковой стороны равна $4 \sqrt{Rr}$.
Если же $3r \leq R$, то трапеции с минимальной длиной боковой стороны нет. При этом можно утверждать, что длина боковой стороны больше чем $\sqrt{Rr} \frac {(R+r)^2}{2r(R-r)}$ (оценка точная).
