Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3712
2019-06-16 
а) Каждая из сторон выпуклого шестиугольника имеет длину больше 1. Всегда ли в нем найдется диагональ длины больше 2?
б) В выпуклом шестиугольнике $ABCDEF$ длины диагоналей $AD, BE$ и $CF$ больше 2. Всегда ли у него найдется сторона длины больше 1?
Решение:
а) Ответ: не всегда. Пример: если на каждой стороне правильного треугольника со стороной 2 построить равнобедренные треугольники с высотой 1/10, то все стороны полученного шестиугольника будут больше 1, а все диагонали не больше 2.
б) Ответ: всегда. Из трех диагоналей $AD, BE$ и $FC$ найдутся две, угол а между которыми не меньше $60^{\circ}$. Пусть, например, это $AD$ и $BE$. Построим параллелограмм $BEDK$. Так как $BE = DK > 2, AD > 2$ и $\angle ADK = \alpha \geq 60^{\circ}$, то $AK > 2$, но $AB + BK > AK$. Поэтому либо $AB > 1$, либо $ED = BK > 1$.
а) Каждая из сторон выпуклого шестиугольника имеет длину больше 1. Всегда ли в нем найдется диагональ длины больше 2?
б) В выпуклом шестиугольнике $ABCDEF$ длины диагоналей $AD, BE$ и $CF$ больше 2. Всегда ли у него найдется сторона длины больше 1?
Решение:
а) Ответ: не всегда. Пример: если на каждой стороне правильного треугольника со стороной 2 построить равнобедренные треугольники с высотой 1/10, то все стороны полученного шестиугольника будут больше 1, а все диагонали не больше 2.
б) Ответ: всегда. Из трех диагоналей $AD, BE$ и $FC$ найдутся две, угол а между которыми не меньше $60^{\circ}$. Пусть, например, это $AD$ и $BE$. Построим параллелограмм $BEDK$. Так как $BE = DK > 2, AD > 2$ и $\angle ADK = \alpha \geq 60^{\circ}$, то $AK > 2$, но $AB + BK > AK$. Поэтому либо $AB > 1$, либо $ED = BK > 1$.
