Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3711
2019-06-16 
Среди чисел вида $36^k - 5^l$, где $k$ и $l$ - натуральные числа, найдите наименьшее по абсолютной величине. Докажите, что найденное число действительно наименьшее.
Решение:
Последняя цифра числа $36^k = 6^{2k}$ равна 6, последняя цифра числа $5^{ \prime}$ равна 5. Поэтому число $|6^{2k} - 5^l|$ оканчивается либо на 1 (если $6^{2k} > 5^l$), либо на 9 (если $|6^{2k} < 5^l$).
Равенство $6^{2k} - 5^l = 1$ невозможно, так как тогда было бы $5^l = (6^k - 1)(6^k + 1)$, а число $6^k + 1$ не делится на 5. При $k = 1$ и $l = 2$ получим $36^k - 5^l = 11$.
Равенство $5^l - 6^{2k} = 9$ также невозможно, так как $5^l$ при натуральном $l$ не делится на 3.
Ответ: $11 = 36 - 5^2$.
Среди чисел вида $36^k - 5^l$, где $k$ и $l$ - натуральные числа, найдите наименьшее по абсолютной величине. Докажите, что найденное число действительно наименьшее.
Решение:
Последняя цифра числа $36^k = 6^{2k}$ равна 6, последняя цифра числа $5^{ \prime}$ равна 5. Поэтому число $|6^{2k} - 5^l|$ оканчивается либо на 1 (если $6^{2k} > 5^l$), либо на 9 (если $|6^{2k} < 5^l$).
Равенство $6^{2k} - 5^l = 1$ невозможно, так как тогда было бы $5^l = (6^k - 1)(6^k + 1)$, а число $6^k + 1$ не делится на 5. При $k = 1$ и $l = 2$ получим $36^k - 5^l = 11$.
Равенство $5^l - 6^{2k} = 9$ также невозможно, так как $5^l$ при натуральном $l$ не делится на 3.
Ответ: $11 = 36 - 5^2$.
