Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3709
2019-06-16 
В пространстве заданы 4 точки, не лежащие в одной плоскости. Сколько существует различных параллелепипедов, для которых эти точки служат вершинами?
Решение:
Можно заметить, что параллелепипед однозначно определяется указанием любой его вершины и тройки «средних» плоскостей (плоскостей, каждая из которых равноудалена от всех его вершин, т. е. проходит через его центр и параллельна граням).
Для четырех данных точек $K, L, M$ и $N$ (не принадлежащих одной плоскости) существует семь плоскостей, равноудаленных от этих точек (они пересекают тетраэдр $KLMN$ в серединах ребер). Из этих семи плоскостей тройку плоскостей можно выбрать $C_7^3 = \frac {7 \cdot 6 \cdot 5}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 35$ способами.
Но нам нужны лишь тройки плоскостей, пересекающихся в одной точке. Поэтому из 35 нужно исключить те тройки, которые параллельны одной прямой. Таких троек 6: это тройки плоскостей, параллельных одному из 6 ребер тетраэдра. Выбрав одну из $35 - 6 = 29$ троек «средних» плоскостей, мы по данным четырем вершинам однозначно построим параллелепипед - для этого достаточно через эти вершины провести плоскости (грани), параллельные «средним» плоскостям.
Ответ: 29 параллелепипедов.
В пространстве заданы 4 точки, не лежащие в одной плоскости. Сколько существует различных параллелепипедов, для которых эти точки служат вершинами?
Решение:
Можно заметить, что параллелепипед однозначно определяется указанием любой его вершины и тройки «средних» плоскостей (плоскостей, каждая из которых равноудалена от всех его вершин, т. е. проходит через его центр и параллельна граням).
Для четырех данных точек $K, L, M$ и $N$ (не принадлежащих одной плоскости) существует семь плоскостей, равноудаленных от этих точек (они пересекают тетраэдр $KLMN$ в серединах ребер). Из этих семи плоскостей тройку плоскостей можно выбрать $C_7^3 = \frac {7 \cdot 6 \cdot 5}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 35$ способами.
Но нам нужны лишь тройки плоскостей, пересекающихся в одной точке. Поэтому из 35 нужно исключить те тройки, которые параллельны одной прямой. Таких троек 6: это тройки плоскостей, параллельных одному из 6 ребер тетраэдра. Выбрав одну из $35 - 6 = 29$ троек «средних» плоскостей, мы по данным четырем вершинам однозначно построим параллелепипед - для этого достаточно через эти вершины провести плоскости (грани), параллельные «средним» плоскостям.
Ответ: 29 параллелепипедов.
