Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3708
2019-06-16 
Докажите, что если $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ - положительные числа, то
$(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5)^2 \geq 4 (x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_4 + x_4x_5 + x_5x_1)$.
Решение:
Если $x_2 \geq x_1$ то неравенство вытекает из тождества
($x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5)^2 - (x_1 - x_2 + x_3 - x_4 + x_5)^2 = 4(x_1 + x_3 + x_5)(x_2 + x_4) = 4(x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_4 + x_4x_5 + x_5x_1) + 4x_5 (x_2 - x_1) + 4x_1x_4)$.
Если $x_1 > x_2$, то из аналогично доказываемого тождества
$x_1 + + x_2 + x_3 + x_4 + x_5)^2 - (x_1 - x_2 - x_3 + x_4 - x_5)^2 = 4(x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_4 + x_4x_5) + 4x_3 (x_1 - x_2) + 4x_2x_4$.
Вообще неравенство
$(x_1 + x_2 + \cdots + x_n)^2 > c_n (x_1x_2 + x_2x_3 + \cdots + x_nx_1)$
выполнено для следующих (наибольших) $c_n$: $c_2 = 2, c_3 = 3, c_4 = 4$ (причем при этих $n$ неравенство верно для всех $x_i$, не обязательно положительных), а также для $c_n = 4$ при всех $n \geq 5$ (при $x_i > 0$). Последнее утверждение получается из доказанного для $n = 5$ индукцией: если передвинуть циклически номера так, чтобы $x_{n+1}$ было наименьшим, то
$(x_1 + x_2 + \cdots + x_{n+1})^{2} + (x_1 + x_{2} + \cdots + x_n)^{2} \geq - 4x_1x_{n} + 4x_{1}x_{n + 1} + 4x_{n}x_{n + 1}$,
поскольку
$2x_{n + 1} (x_2 + \cdots + x_{n-1}) + (x_{n+1} - 2 x_1)(x_{n+1} - 2x_n) \geq 0$.
Докажите, что если $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ - положительные числа, то
$(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5)^2 \geq 4 (x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_4 + x_4x_5 + x_5x_1)$.
Решение:
Если $x_2 \geq x_1$ то неравенство вытекает из тождества
($x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5)^2 - (x_1 - x_2 + x_3 - x_4 + x_5)^2 = 4(x_1 + x_3 + x_5)(x_2 + x_4) = 4(x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_4 + x_4x_5 + x_5x_1) + 4x_5 (x_2 - x_1) + 4x_1x_4)$.
Если $x_1 > x_2$, то из аналогично доказываемого тождества
$x_1 + + x_2 + x_3 + x_4 + x_5)^2 - (x_1 - x_2 - x_3 + x_4 - x_5)^2 = 4(x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_4 + x_4x_5) + 4x_3 (x_1 - x_2) + 4x_2x_4$.
Вообще неравенство
$(x_1 + x_2 + \cdots + x_n)^2 > c_n (x_1x_2 + x_2x_3 + \cdots + x_nx_1)$
выполнено для следующих (наибольших) $c_n$: $c_2 = 2, c_3 = 3, c_4 = 4$ (причем при этих $n$ неравенство верно для всех $x_i$, не обязательно положительных), а также для $c_n = 4$ при всех $n \geq 5$ (при $x_i > 0$). Последнее утверждение получается из доказанного для $n = 5$ индукцией: если передвинуть циклически номера так, чтобы $x_{n+1}$ было наименьшим, то
$(x_1 + x_2 + \cdots + x_{n+1})^{2} + (x_1 + x_{2} + \cdots + x_n)^{2} \geq - 4x_1x_{n} + 4x_{1}x_{n + 1} + 4x_{n}x_{n + 1}$,
поскольку
$2x_{n + 1} (x_2 + \cdots + x_{n-1}) + (x_{n+1} - 2 x_1)(x_{n+1} - 2x_n) \geq 0$.
