Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3704
2019-06-16 
На сторонах остроугольного треугольника $ABC$ во внешнюю сторону построены три подобных между собой остроугольных треугольника $AC_1B > BA_1C, CB_1A$ (при этом $\angle AB_1C = \angle ABC_1 = \angle AXBC_1 \angle BA_1C = \angle BAC_1 = \angle B_1AC$).
а) Докажите, что окружности, описанные вокруг треугольников $AC_1B, BA_1C$ и $CB_1A$, пересекаются в одной точке.
б) Докажите, что в той же точке пересекаются прямые $AA_1, BB_1$ и $CC_1$.
Решение:
Пусть $D$ - точка пересечения $AA_1$ и $BB_1$. Поскольку $\angle A_1CA = \angle B_1CB$ (рис.) и $A_1C : BC = AC : A_1C$, треугольники $A_1CA$ и $B_1CB$ подобны, следовательно, $\angle DBC = \angle DA_1C$. Поэтому точки $B, D, C, A_1$ лежат на одной окружности. Там же доказывается, что точки $B, D, C, B_1$ лежат на одной окружности, т.е. точка $D$ является точкой пересечения окружностей, описанных около треугольников $A_1BC$ и $AB_1C$.
Заметим теперь, что $\angle ADB = 180^{\circ} - \angle ADB_1 = 180^{\circ} - \angle AC_1B$, поэтому точки $A, D, B$ и $C_{1}$ лежат на одной окружности. Таким образом, $D$ - точка пересечения всех трех описанных окружностей, а по доказанному ранее - прямая $CC_1$ проходит через точку $D$.
На сторонах остроугольного треугольника $ABC$ во внешнюю сторону построены три подобных между собой остроугольных треугольника $AC_1B > BA_1C, CB_1A$ (при этом $\angle AB_1C = \angle ABC_1 = \angle AXBC_1 \angle BA_1C = \angle BAC_1 = \angle B_1AC$).
а) Докажите, что окружности, описанные вокруг треугольников $AC_1B, BA_1C$ и $CB_1A$, пересекаются в одной точке.
б) Докажите, что в той же точке пересекаются прямые $AA_1, BB_1$ и $CC_1$.
Решение:
Пусть $D$ - точка пересечения $AA_1$ и $BB_1$. Поскольку $\angle A_1CA = \angle B_1CB$ (рис.) и $A_1C : BC = AC : A_1C$, треугольники $A_1CA$ и $B_1CB$ подобны, следовательно, $\angle DBC = \angle DA_1C$. Поэтому точки $B, D, C, A_1$ лежат на одной окружности. Там же доказывается, что точки $B, D, C, B_1$ лежат на одной окружности, т.е. точка $D$ является точкой пересечения окружностей, описанных около треугольников $A_1BC$ и $AB_1C$.
Заметим теперь, что $\angle ADB = 180^{\circ} - \angle ADB_1 = 180^{\circ} - \angle AC_1B$, поэтому точки $A, D, B$ и $C_{1}$ лежат на одной окружности. Таким образом, $D$ - точка пересечения всех трех описанных окружностей, а по доказанному ранее - прямая $CC_1$ проходит через точку $D$.
