Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3699
2019-06-15 
Дан угол с вершиной $O$ и окружность, касающаяся его сторон в точках $A$ и $B$. Из точки $A$ параллельно $OB$ проведен луч, пересекающий окружность в точке $C$. Отрезок $OC$ пересекает окружность в точке $E$, а прямые $AE$ и $OB$ пересекаются в точке $K$. Докажите, что $OK = KB$.
Решение:
Пусть $P$ и $Q$ - точки пересечения касательной к данной окружности в точке $C$ со сторонами угла. Так как $AP = PC$, то $\triangle APC$ и вместе с ним $\triangle OPQ$ - равнобедренный. Поэтому $AO = CQ = OB = BQ$ (рис.).
Заметим, что $\angle OAE = \angle OCA = \angle COQ$, a $\angle AOB = \angle CQB$. Из подобия $\triangle OAK \infty \triangle QOC$ следует:
$\frac{OK}{OA} = \frac{CQ}{OQ} = \frac{1}{2}$.
Значит, $OK = \frac{OA}{2} = \frac{OB}{2}$. Равенство углов $\angle OAE = \angle ACO$ следует из теоремы об угле между касательной и хордой.
Дан угол с вершиной $O$ и окружность, касающаяся его сторон в точках $A$ и $B$. Из точки $A$ параллельно $OB$ проведен луч, пересекающий окружность в точке $C$. Отрезок $OC$ пересекает окружность в точке $E$, а прямые $AE$ и $OB$ пересекаются в точке $K$. Докажите, что $OK = KB$.
Решение:
Пусть $P$ и $Q$ - точки пересечения касательной к данной окружности в точке $C$ со сторонами угла. Так как $AP = PC$, то $\triangle APC$ и вместе с ним $\triangle OPQ$ - равнобедренный. Поэтому $AO = CQ = OB = BQ$ (рис.).
Заметим, что $\angle OAE = \angle OCA = \angle COQ$, a $\angle AOB = \angle CQB$. Из подобия $\triangle OAK \infty \triangle QOC$ следует:
$\frac{OK}{OA} = \frac{CQ}{OQ} = \frac{1}{2}$.
Значит, $OK = \frac{OA}{2} = \frac{OB}{2}$. Равенство углов $\angle OAE = \angle ACO$ следует из теоремы об угле между касательной и хордой.
