Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3697
2019-06-15 
Докажите, что девятизначное число, в записи которого участвуют все цифры, кроме нуля, и которое оканчивается цифрой 5, не может быть полным квадратом целого числа.
Решение:
Предположим, что существует полный квадрат $D = A^2$, удовлетворяющий условиям задачи. Число $A$, очевидно, оканчивается цифрой 5, т. е. $A = 10a + 5$. Поэтому $D = 100a(a + 1) + 25$ оканчивается на 25. Число $a(a+1)$ оканчивается либо на 2, либо на 6, либо на 0, Поэтому третья справа цифра числа $D$ равна 6. Итак, $D = 1000k + 625$. Мы видим, что $D$ делится на $5^3 = 125$, и поэтому и на 54. Поэтому $k$ делится на 5 и, значит, четвертая справа цифра числа $D$ - либо 0, либо 5, что невозможно.
Докажите, что девятизначное число, в записи которого участвуют все цифры, кроме нуля, и которое оканчивается цифрой 5, не может быть полным квадратом целого числа.
Решение:
Предположим, что существует полный квадрат $D = A^2$, удовлетворяющий условиям задачи. Число $A$, очевидно, оканчивается цифрой 5, т. е. $A = 10a + 5$. Поэтому $D = 100a(a + 1) + 25$ оканчивается на 25. Число $a(a+1)$ оканчивается либо на 2, либо на 6, либо на 0, Поэтому третья справа цифра числа $D$ равна 6. Итак, $D = 1000k + 625$. Мы видим, что $D$ делится на $5^3 = 125$, и поэтому и на 54. Поэтому $k$ делится на 5 и, значит, четвертая справа цифра числа $D$ - либо 0, либо 5, что невозможно.
