Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3696
2019-06-15 
На суде в качестве вещественного доказательства предъявлено 14 монет. Эксперт обнаружил, что монеты с 1-й по 7-ю - фальшивые, а с 8-й по 14-ю - настоящие. Суд же знает только то, что фальшивые монеты весят одинаково, настоящие монеты весят одинаково и что фальшивые монеты легче настоящих. В распоряжении эксперта - чашечные весы без гирь.
а) Эксперт хочет доказать суду, что монеты с 1-й по 7-ю - фальшивые. Как он может это сделать, используя только три взвешивания?
б) Покажите, что с помощью трех взвешиваний он может доказать даже больше: что монеты с 1-й по 7-ю - фальшивые, а с 8-й по 14-ю - настоящие.
Решение:
Приведем решение задачи б). Эксперт должен проделать такие три взвешивания.
1°, Эксперт кладет на левую чашку 1-ю монету, на правую - 8-ю, так как правая чашка перевешивает, то суд видит, что 1-я монета фальшивая, а 8-я - настоящая.
2°. На правую чашку кладутся 2-я, 3-я и 8-я монеты, на левую - 9-я, 10-я и 1-я, Левая чашка перевешивает, и суд убеждается, что 2-я и 3-я монеты фальшивые, а 9-я и 10-я - настоящие.
3°. Эксперт кладет на левую чашку 4-ю, 5-ю, 6-ю, 7-ю, 8-ю, 9-ю и 10-ю монеты, а на правую - остальные. Правая чашка перевешивает и суд видит, что на ней больше настоящих монет, чем на левой, а на левой чашке фальшивых монет больше, чем на правой. Это и доказывает суду, что 4-я, 5-я, 6-я и 7-я монеты фальшивые, а 11-я, 12-я, 13-я и 14-я - настоящие.
Точно так же проверка $2^k - 1$ фальшивых и $2^k -1$ настоящих монет может быть осуществлена за $k$ взвешиваний при любых $k \geq 1$.
На суде в качестве вещественного доказательства предъявлено 14 монет. Эксперт обнаружил, что монеты с 1-й по 7-ю - фальшивые, а с 8-й по 14-ю - настоящие. Суд же знает только то, что фальшивые монеты весят одинаково, настоящие монеты весят одинаково и что фальшивые монеты легче настоящих. В распоряжении эксперта - чашечные весы без гирь.
а) Эксперт хочет доказать суду, что монеты с 1-й по 7-ю - фальшивые. Как он может это сделать, используя только три взвешивания?
б) Покажите, что с помощью трех взвешиваний он может доказать даже больше: что монеты с 1-й по 7-ю - фальшивые, а с 8-й по 14-ю - настоящие.
Решение:
Приведем решение задачи б). Эксперт должен проделать такие три взвешивания.
1°, Эксперт кладет на левую чашку 1-ю монету, на правую - 8-ю, так как правая чашка перевешивает, то суд видит, что 1-я монета фальшивая, а 8-я - настоящая.
2°. На правую чашку кладутся 2-я, 3-я и 8-я монеты, на левую - 9-я, 10-я и 1-я, Левая чашка перевешивает, и суд убеждается, что 2-я и 3-я монеты фальшивые, а 9-я и 10-я - настоящие.
3°. Эксперт кладет на левую чашку 4-ю, 5-ю, 6-ю, 7-ю, 8-ю, 9-ю и 10-ю монеты, а на правую - остальные. Правая чашка перевешивает и суд видит, что на ней больше настоящих монет, чем на левой, а на левой чашке фальшивых монет больше, чем на правой. Это и доказывает суду, что 4-я, 5-я, 6-я и 7-я монеты фальшивые, а 11-я, 12-я, 13-я и 14-я - настоящие.
Точно так же проверка $2^k - 1$ фальшивых и $2^k -1$ настоящих монет может быть осуществлена за $k$ взвешиваний при любых $k \geq 1$.
