Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3694
2019-06-15 
Сумма положительных чисел $x_1, x_2, \cdots, x_n$ равна 1. Пусть $s$ - наибольшее из чисел
$\frac{x_1}{1+x_1}, \frac{x_2}{1+x_1+x_2}, \cdots, \frac {x_n}{1 + x_1 + x_2 + \cdots + x_n}$.
Найдите наименьшее возможное значение $s$. При каких значениях $x_1, x_2, \cdots, x_n$ оно достигается?
Решение:
Положим $y_0 = 1, y_k = 1 + x_1 + \cdots + x_k (1 \leq k \leq n)$. Тогда $y_n = 2, x_k = y_k - y_{k-1}$, если все данные числа не превосходят $s$, т. е.
$\frac{x_k}{y_k} = \frac {y_k - y_{k-1}}{y_k} = 1 - \frac {y_{k-1}}{y_k} \leq s$,
то $1-s \leq \frac{y_{k-1}}{y_k}$. Перемножив эти неравенства ($k = 1, 2, \cdots, n$), получим: $(1 - s)^n \leq \frac{y_0}{y_n} = \frac{1}{2}$, откуда $s \geq 1 - 2^{-1/n}$. Это значение достигается, когда (для всех $k$) $2^{-1/n} = 1 - s = \frac{y_{k-1}}{y_k}$, т. е. когда $y_k$ образуют геометрическую прогрессию $y_х = 2^{1/n}, у_2 = 2^{2/n}, \cdots, у_n = 2$ со знаменателем $2^{1/n}$, a $x_k = 2^{k/n} - 2^{(k-l)/n}$.
Ответ: наименьшее значение $s$, равное $1-2^{-1/n}$, достигается при $x_k = 2^{k/n} (1 - 2^{-1/n})$.
Сумма положительных чисел $x_1, x_2, \cdots, x_n$ равна 1. Пусть $s$ - наибольшее из чисел
$\frac{x_1}{1+x_1}, \frac{x_2}{1+x_1+x_2}, \cdots, \frac {x_n}{1 + x_1 + x_2 + \cdots + x_n}$.
Найдите наименьшее возможное значение $s$. При каких значениях $x_1, x_2, \cdots, x_n$ оно достигается?
Решение:
Положим $y_0 = 1, y_k = 1 + x_1 + \cdots + x_k (1 \leq k \leq n)$. Тогда $y_n = 2, x_k = y_k - y_{k-1}$, если все данные числа не превосходят $s$, т. е.
$\frac{x_k}{y_k} = \frac {y_k - y_{k-1}}{y_k} = 1 - \frac {y_{k-1}}{y_k} \leq s$,
то $1-s \leq \frac{y_{k-1}}{y_k}$. Перемножив эти неравенства ($k = 1, 2, \cdots, n$), получим: $(1 - s)^n \leq \frac{y_0}{y_n} = \frac{1}{2}$, откуда $s \geq 1 - 2^{-1/n}$. Это значение достигается, когда (для всех $k$) $2^{-1/n} = 1 - s = \frac{y_{k-1}}{y_k}$, т. е. когда $y_k$ образуют геометрическую прогрессию $y_х = 2^{1/n}, у_2 = 2^{2/n}, \cdots, у_n = 2$ со знаменателем $2^{1/n}$, a $x_k = 2^{k/n} - 2^{(k-l)/n}$.
Ответ: наименьшее значение $s$, равное $1-2^{-1/n}$, достигается при $x_k = 2^{k/n} (1 - 2^{-1/n})$.
