Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3693
2019-06-15 
Можно ли расставить цифры 0, 1, 2 в клетках листа клетчатой бумаги размером $100 \times 100$ клеток таким образом, чтобы в каждом прямоугольнике $3 \times 4$ клетки оказалось три нуля, четыре единицы и пять двоек?
Решение:
Приведем один из наиболее коротких способов получить противоречие. Будем говорить, что две фигуры заполнены одинаково, если в них одинаковое число нулей, единиц и двоек. Заштрихованные прямоугольники на рис., а заполнены одинаково (к двум соседним можно приставить квадрат $3 \times 3$, образующий с каждым из них прямоугольник $3 \times 4$; остается вычесть из стандартного набора для прямоугольника $3 \times 4$ содержимое квадрата). Полоска $1 \times 12$ всегда имеет то же стандартное содержимое, что и прямоугольник $3 \times 4$ (на рис.б одинаковы прямоугольники, обозначенные одной буквой), т.е. в ней 5 двоек. С другой стороны, рассмотрим (не у края бумажного листа) прямоугольник $a$ размерами $3 \times 1$, содержащий не менее 2 двоек; такой найдется в любом прямоугольнике $3 \times 4$, состоящем из четырех прямоугольников $3 \times 1$ и содержащем 5 двоек. Расположим рядом с ним, как показано пунктиром на рис.в, полоску $1 \times 12$. В ней не менее $2 \cdot 3 = 6$ двоек. Противоречие.
Ответ: нельзя.
Можно ли расставить цифры 0, 1, 2 в клетках листа клетчатой бумаги размером $100 \times 100$ клеток таким образом, чтобы в каждом прямоугольнике $3 \times 4$ клетки оказалось три нуля, четыре единицы и пять двоек?
Решение:
Приведем один из наиболее коротких способов получить противоречие. Будем говорить, что две фигуры заполнены одинаково, если в них одинаковое число нулей, единиц и двоек. Заштрихованные прямоугольники на рис., а заполнены одинаково (к двум соседним можно приставить квадрат $3 \times 3$, образующий с каждым из них прямоугольник $3 \times 4$; остается вычесть из стандартного набора для прямоугольника $3 \times 4$ содержимое квадрата). Полоска $1 \times 12$ всегда имеет то же стандартное содержимое, что и прямоугольник $3 \times 4$ (на рис.б одинаковы прямоугольники, обозначенные одной буквой), т.е. в ней 5 двоек. С другой стороны, рассмотрим (не у края бумажного листа) прямоугольник $a$ размерами $3 \times 1$, содержащий не менее 2 двоек; такой найдется в любом прямоугольнике $3 \times 4$, состоящем из четырех прямоугольников $3 \times 1$ и содержащем 5 двоек. Расположим рядом с ним, как показано пунктиром на рис.в, полоску $1 \times 12$. В ней не менее $2 \cdot 3 = 6$ двоек. Противоречие.
Ответ: нельзя.
