Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3689
2019-06-15 
Семиугольник $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7$ вписан в окружность. Докажите, что если центр этой окружности лежит внутри семиугольника, то сумма углов при вершинах $A_1, A_3$ и $A_5$ меньше $450^{\circ}$.
Решение:
Пользуясь теоремой о вписанном угле, сумму $\angle A_1 + \angle A_2 + \angle A_3$ можно найти как половину величины
$(360^{\circ} - \breve{A_7A_1A_2}) + (360^{\circ} - \breve{A_2A_3A_7}) + (360^{\circ} - \breve{А_4A_5A_6}) = 720^{\circ} + \breve{A_6A_7}$.
По условию центр $О$ лежит внутри семиугольника, поэтому дуга $\breve{A_6A_7}$ не может быть больше $180^{\circ}$ и $\angle A_1 + \angle A_2 + \angle A_3 < 360^{\circ} + 90^{\circ} = 450^{\circ}$.
Семиугольник $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7$ вписан в окружность. Докажите, что если центр этой окружности лежит внутри семиугольника, то сумма углов при вершинах $A_1, A_3$ и $A_5$ меньше $450^{\circ}$.
Решение:
Пользуясь теоремой о вписанном угле, сумму $\angle A_1 + \angle A_2 + \angle A_3$ можно найти как половину величины
$(360^{\circ} - \breve{A_7A_1A_2}) + (360^{\circ} - \breve{A_2A_3A_7}) + (360^{\circ} - \breve{А_4A_5A_6}) = 720^{\circ} + \breve{A_6A_7}$.
По условию центр $О$ лежит внутри семиугольника, поэтому дуга $\breve{A_6A_7}$ не может быть больше $180^{\circ}$ и $\angle A_1 + \angle A_2 + \angle A_3 < 360^{\circ} + 90^{\circ} = 450^{\circ}$.
