Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3688
2019-06-15 
Каждая из девяти прямых разбивает квадрат на два четырехугольника, площади которых относятся как 2:3. Докажите, что по крайней мере три из этих девяти прямых проходят через одну точку.
Решение:
Каждая прямая, разбивающая квадрат на две трапеции (или прямоугольника) с отношением площадей $2 : 3$, в таком же отношении делит среднюю линию квадрата, идущую по средним линиям этих трапеций; это следует из формулы: площадь трапеции равна произведению высоты на длину средней линии.
Таких точек, которые делят одну из средних линий в отношении $2 : 3$, всего четыре (рис.), а прямых - девять, следовательно, в какой-то из этих точек должны пересекаться три прямых.
Каждая из девяти прямых разбивает квадрат на два четырехугольника, площади которых относятся как 2:3. Докажите, что по крайней мере три из этих девяти прямых проходят через одну точку.
Решение:
Каждая прямая, разбивающая квадрат на две трапеции (или прямоугольника) с отношением площадей $2 : 3$, в таком же отношении делит среднюю линию квадрата, идущую по средним линиям этих трапеций; это следует из формулы: площадь трапеции равна произведению высоты на длину средней линии.
Таких точек, которые делят одну из средних линий в отношении $2 : 3$, всего четыре (рис.), а прямых - девять, следовательно, в какой-то из этих точек должны пересекаться три прямых.
