Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3687
2019-06-15 
$O$ - точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника $ABCD$. Докажите, что прямая, проходящая через точки пересечения медиан треугольников $AOB$ и $COD$, перпендикулярна прямой, проходящей через точки пересечения высот треугольников $BOC$ и $AOD$.
Решение:
Точки $K, L, M, N$ - пересечения высот треугольников $AOB, BOC, COD$ и $DOA$ - вершины параллелограмма, две стороны которого идут по прямым, проведенным через точки $A$ и $C$ перпендикулярно $BD$, две другие - по прямым, проведенным через точки $B$ и $D$ перпендикулярно $AC$ (рис.а).
Точки $K^{ \prime}, L^{ \prime}, M^{ \prime}$ и $N^{ \prime}$ пересечения медиан треугольников $AOB, BOC, COD$ и $DOA$ - вершины параллелограмма, две стороны которого параллельны $BD$ и делят отрезок $AC$ на три равные части, две другие параллельны $AC$ и делят отрезок $BD$ на три равные части (рис. б).
Ясно, что стороны этих параллелограммов соответственно перпендикулярны. Докажем, что параллелограммы подобны; отсюда будет следовать, что если один из них повернуть на $90^{\circ}$, то не только его стороны, но и диагонали станут параллельны диагоналям другого, т. е. $K^{ \prime}M^{ \prime} \perp KM$ (и $L^{ \prime}N^{ \prime} \perp LN$), что и требуется. Для подобия параллелограммов нужна пропорциональность сторон. длины сторон $K^{ \prime}L^{ \prime}$ и $KN$ равны $AC/3$ и $BD/3$. Проекция стороны $KL$ на прямую $BD$ совпадает с проекцией отрезка $AC$ на эту прямую, поэтому $KL = AC \cdot ctg \phi$, где $\phi$ - острый угол между прямыми $AC$ и $BD$; аналогично $KN = BD \cdot ctg \phi$. Таким образом, стороны обоих параллелограммов относятся как $AC : BD$, откуда следует подобие.
Если угол $\phi$ - прямой, то все точки $K, L, M, N$ сливаются, и задача теряет смысл.
$O$ - точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника $ABCD$. Докажите, что прямая, проходящая через точки пересечения медиан треугольников $AOB$ и $COD$, перпендикулярна прямой, проходящей через точки пересечения высот треугольников $BOC$ и $AOD$.
Решение:
Точки $K, L, M, N$ - пересечения высот треугольников $AOB, BOC, COD$ и $DOA$ - вершины параллелограмма, две стороны которого идут по прямым, проведенным через точки $A$ и $C$ перпендикулярно $BD$, две другие - по прямым, проведенным через точки $B$ и $D$ перпендикулярно $AC$ (рис.а).
Точки $K^{ \prime}, L^{ \prime}, M^{ \prime}$ и $N^{ \prime}$ пересечения медиан треугольников $AOB, BOC, COD$ и $DOA$ - вершины параллелограмма, две стороны которого параллельны $BD$ и делят отрезок $AC$ на три равные части, две другие параллельны $AC$ и делят отрезок $BD$ на три равные части (рис. б).
Ясно, что стороны этих параллелограммов соответственно перпендикулярны. Докажем, что параллелограммы подобны; отсюда будет следовать, что если один из них повернуть на $90^{\circ}$, то не только его стороны, но и диагонали станут параллельны диагоналям другого, т. е. $K^{ \prime}M^{ \prime} \perp KM$ (и $L^{ \prime}N^{ \prime} \perp LN$), что и требуется. Для подобия параллелограммов нужна пропорциональность сторон. длины сторон $K^{ \prime}L^{ \prime}$ и $KN$ равны $AC/3$ и $BD/3$. Проекция стороны $KL$ на прямую $BD$ совпадает с проекцией отрезка $AC$ на эту прямую, поэтому $KL = AC \cdot ctg \phi$, где $\phi$ - острый угол между прямыми $AC$ и $BD$; аналогично $KN = BD \cdot ctg \phi$. Таким образом, стороны обоих параллелограммов относятся как $AC : BD$, откуда следует подобие.
Если угол $\phi$ - прямой, то все точки $K, L, M, N$ сливаются, и задача теряет смысл.
