Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3686
2019-06-15 
Дано несколько квадратов, сумма площадей которых равна 1. Докажите, что их можно поместить без наложений в квадрат площади 2.
Решение:
Разложим квадраты в порядке убывания сторон и будем укладывать их, начиная с самого большого $x \times x$, слева направо на нижнюю сторону квадратной площадки $\sqrt{2} \times \sqrt{2}$ (рис.); как только очередной квадрат не помещается - вылезает за правую сторону площадки, - мы проводим по верхней стороне левого квадрата горизонтальную прямую и начинаем новый ряд. Пусть $x = h_1, h_2, h_3, \cdots$ - стороны квадратов, примыкающих к левой стороне площадки. Мы должны доказать, что высота $h = h_1 + h_2 + h_3 + \cdots$ меньше $\sqrt{2}$, т. е. что квадраты исчерпаются раньше, чем вылезут за верхнюю сторону площадки.
Оценим их общую площадь. Перенесем мысленно каждый из левых квадратов со сторонами $h_k (k = 2, 3, \cdots)$ в конец предыдущего $(k - 1)$-го ряда. Он вылезет за правую сторону, поэтому после такой процедуры площадь квадратов $(k-1)$-го ряда будет не меньше $(\sqrt{2} - x) h_k$ при этом в 1-м ряду мы не считаем левый большой квадрат. Таким образом, общая площадь всех квадратов, равная по условию 1, не меньше
$x^2 + (\sqrt{2} - x) (h_2 + h_3 + \cdots) = x^2 + (\sqrt{2} - x) (h - x)$.
Отсюда можно получить оценку для $h$. Поскольку $\sqrt{2} - x > 0$, из неравенства $x^2 + (\sqrt{2} - x) (h - x) \leq 1$ следует
$h \leq \frac {1 - x^2}{\sqrt{2} - x} + x = 3 \sqrt{2} - \sqrt{2} \left (2 - x \sqrt{2} + \frac{1}{2 - x \sqrt{2}} \right ) \leq \sqrt{2}$,
так как число в круглой скобке вида $t + \frac{1}{t}$ не меньше 2 (равенство возможно лишь при $x = \frac{ \sqrt{2}}{2}$).
Дано несколько квадратов, сумма площадей которых равна 1. Докажите, что их можно поместить без наложений в квадрат площади 2.
Решение:
Разложим квадраты в порядке убывания сторон и будем укладывать их, начиная с самого большого $x \times x$, слева направо на нижнюю сторону квадратной площадки $\sqrt{2} \times \sqrt{2}$ (рис.); как только очередной квадрат не помещается - вылезает за правую сторону площадки, - мы проводим по верхней стороне левого квадрата горизонтальную прямую и начинаем новый ряд. Пусть $x = h_1, h_2, h_3, \cdots$ - стороны квадратов, примыкающих к левой стороне площадки. Мы должны доказать, что высота $h = h_1 + h_2 + h_3 + \cdots$ меньше $\sqrt{2}$, т. е. что квадраты исчерпаются раньше, чем вылезут за верхнюю сторону площадки.
Оценим их общую площадь. Перенесем мысленно каждый из левых квадратов со сторонами $h_k (k = 2, 3, \cdots)$ в конец предыдущего $(k - 1)$-го ряда. Он вылезет за правую сторону, поэтому после такой процедуры площадь квадратов $(k-1)$-го ряда будет не меньше $(\sqrt{2} - x) h_k$ при этом в 1-м ряду мы не считаем левый большой квадрат. Таким образом, общая площадь всех квадратов, равная по условию 1, не меньше
$x^2 + (\sqrt{2} - x) (h_2 + h_3 + \cdots) = x^2 + (\sqrt{2} - x) (h - x)$.
Отсюда можно получить оценку для $h$. Поскольку $\sqrt{2} - x > 0$, из неравенства $x^2 + (\sqrt{2} - x) (h - x) \leq 1$ следует
$h \leq \frac {1 - x^2}{\sqrt{2} - x} + x = 3 \sqrt{2} - \sqrt{2} \left (2 - x \sqrt{2} + \frac{1}{2 - x \sqrt{2}} \right ) \leq \sqrt{2}$,
так как число в круглой скобке вида $t + \frac{1}{t}$ не меньше 2 (равенство возможно лишь при $x = \frac{ \sqrt{2}}{2}$).
