Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3685
2019-06-15 
Треугольная таблица строится по следующему правилу: в верхней строке написано натуральное число $a$, а далее под каждым числом $k$ слева пишется $k^2$, а справа - число $k + l$. Например, при $a = 2$ получается таблица, изображенная на рис. Докажите, что в каждой строчке такой таблицы все числа различны.
Решение:
Предположим, что в некоторых строках таблицы встречаются одинаковые числа. Пусть $n$ - номер самой верхней из этих строк, а $p$ и $q$ - равные числа в этой строке.
Поскольку в $(n - 1)$-й строке равных чисел нет, $p$ и $q$ получены из чисел $r$ и s этой строки разными действиями: пусть
$p = r^2, q = s +1$, тогда $s = r^2 - 1$.
На пути, ведущем из верхнего числа $а$ в число $s$, могли встречаться возведения в квадрат и прибавления единиц. Самым большим числом, возводившимся в квадрат, могло быть $r - 1$ (поскольку $s - r - 1$). Это значит, что число $s$ могло быть получено из последнего встретившегося на пути квадрата не менее чем за $r^2 - 1 - (r - 1)^2 = 2r - 2$ шагов, причем на каждом шаге добавлялись единицы. Таким образом, число $s$ получилось из $а$ не менее чем за $2r - 1$ шагов (т. е. $n - 2 \geq 2r - 1$). Но в одной строчке с $s$ стоит $r$, а любое число, полученное из $а$ за такое число шагов, не меньше $а + 2r - 1 > r$. Таким образом, при получении $s$ не было возведений в квадрат, так что $q$ - крайнее правое, наименьшее число в $n$-й строке, что противоречит равенству $p = q$.
Анализ решения задачи показывает, что операцию возведения в квадрат можно заменить любой функцией принимающей натуральные значения и такой, что $f(n+l) - f(n) > n + 1$.
Треугольная таблица строится по следующему правилу: в верхней строке написано натуральное число $a$, а далее под каждым числом $k$ слева пишется $k^2$, а справа - число $k + l$. Например, при $a = 2$ получается таблица, изображенная на рис. Докажите, что в каждой строчке такой таблицы все числа различны.
Решение:
Предположим, что в некоторых строках таблицы встречаются одинаковые числа. Пусть $n$ - номер самой верхней из этих строк, а $p$ и $q$ - равные числа в этой строке.
Поскольку в $(n - 1)$-й строке равных чисел нет, $p$ и $q$ получены из чисел $r$ и s этой строки разными действиями: пусть
$p = r^2, q = s +1$, тогда $s = r^2 - 1$.
На пути, ведущем из верхнего числа $а$ в число $s$, могли встречаться возведения в квадрат и прибавления единиц. Самым большим числом, возводившимся в квадрат, могло быть $r - 1$ (поскольку $s - r - 1$). Это значит, что число $s$ могло быть получено из последнего встретившегося на пути квадрата не менее чем за $r^2 - 1 - (r - 1)^2 = 2r - 2$ шагов, причем на каждом шаге добавлялись единицы. Таким образом, число $s$ получилось из $а$ не менее чем за $2r - 1$ шагов (т. е. $n - 2 \geq 2r - 1$). Но в одной строчке с $s$ стоит $r$, а любое число, полученное из $а$ за такое число шагов, не меньше $а + 2r - 1 > r$. Таким образом, при получении $s$ не было возведений в квадрат, так что $q$ - крайнее правое, наименьшее число в $n$-й строке, что противоречит равенству $p = q$.
Анализ решения задачи показывает, что операцию возведения в квадрат можно заменить любой функцией принимающей натуральные значения и такой, что $f(n+l) - f(n) > n + 1$.
