Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3684
2019-06-15 
а) Пусть $a, m, n$ - натуральные числа, $a > 1$. Докажите, что если $a^m + 1$ делится на $a^n + 1$, то $m$ делится на $n$.
б) Пусть $a, b, m, n$ - натуральные числа, причем а взаимно просто с $b$ и $a > 1$. Докажите, что если $a^m + b^m$ делится на $a^n + b^n$, то $m$ делится на $n$.
Решение:
Сначала докажем следующие два утверждения.
а) если $a + b$ делится на $a^n + b^n$, то и $a^{k-n} - b^{k-n}$ делится на $a^n + b^n$;
б) если $z^l - b^l$ делится на $a^n + b^n$, то и $a^{l-n} + b^{l-n}$ делится на $a^n + b^n$.
Эти утверждения легко следуют из взаимной простоты $a$ и $b$ и тождеств
$a^k + b^k = a^{k-n} (a^n + b^n) - b^n (a^{k-n} - b^{k-n})$,
$a^l + b^l = a^{l-n} (a^n + b^n) - b^n (a^{l-n} - b^{l-n})$.
Разделим $m$ на $n$ остатком: $m = qn + r$, где $0 \leq r < n$; вычитая $q$ раз $n$ из $m$, мы получим $r$.
Из условия задачи и утверждений а) и б) следует, что $a^r + (-1)^q b^r$ делится на $a^n + b^n$; но $0 \leq |a^r + (-1)^q b^r| < a^n + b^n$. Отсюда следует, что $r = 0$ (и при этом $q$ нечетно!).
а) Пусть $a, m, n$ - натуральные числа, $a > 1$. Докажите, что если $a^m + 1$ делится на $a^n + 1$, то $m$ делится на $n$.
б) Пусть $a, b, m, n$ - натуральные числа, причем а взаимно просто с $b$ и $a > 1$. Докажите, что если $a^m + b^m$ делится на $a^n + b^n$, то $m$ делится на $n$.
Решение:
Сначала докажем следующие два утверждения.
а) если $a + b$ делится на $a^n + b^n$, то и $a^{k-n} - b^{k-n}$ делится на $a^n + b^n$;
б) если $z^l - b^l$ делится на $a^n + b^n$, то и $a^{l-n} + b^{l-n}$ делится на $a^n + b^n$.
Эти утверждения легко следуют из взаимной простоты $a$ и $b$ и тождеств
$a^k + b^k = a^{k-n} (a^n + b^n) - b^n (a^{k-n} - b^{k-n})$,
$a^l + b^l = a^{l-n} (a^n + b^n) - b^n (a^{l-n} - b^{l-n})$.
Разделим $m$ на $n$ остатком: $m = qn + r$, где $0 \leq r < n$; вычитая $q$ раз $n$ из $m$, мы получим $r$.
Из условия задачи и утверждений а) и б) следует, что $a^r + (-1)^q b^r$ делится на $a^n + b^n$; но $0 \leq |a^r + (-1)^q b^r| < a^n + b^n$. Отсюда следует, что $r = 0$ (и при этом $q$ нечетно!).
