Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3683
2019-06-15 
Найдите наибольшее целое число $x$ такое, чтобы число
$4^{27} + 4^{1000} + 4^x$
являлось полным квадратом.
Решение:
Поскольку $4^{27} + 4^{1000} + 4^x = 2^{54} (1 + 2 \cdot 2^{1945} + 2^{2x-54})$, выражение в скобках будет полным квадратом при $2x - 54 = 2 \cdot 1945$, т. е. при $x = 1972$. Если же $x > 1972$, то $2^{2(x-27)} < 1 + 2 \cdot 2^{1945} + 2^{2(x-27)} < (2^{x - 27} + 1)^2$, т. е, данное число заключено между квадратами двух последовательных натуральных чисел.
Ответ: $x = 1972$.
Найдите наибольшее целое число $x$ такое, чтобы число
$4^{27} + 4^{1000} + 4^x$
являлось полным квадратом.
Решение:
Поскольку $4^{27} + 4^{1000} + 4^x = 2^{54} (1 + 2 \cdot 2^{1945} + 2^{2x-54})$, выражение в скобках будет полным квадратом при $2x - 54 = 2 \cdot 1945$, т. е. при $x = 1972$. Если же $x > 1972$, то $2^{2(x-27)} < 1 + 2 \cdot 2^{1945} + 2^{2(x-27)} < (2^{x - 27} + 1)^2$, т. е, данное число заключено между квадратами двух последовательных натуральных чисел.
Ответ: $x = 1972$.
