Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3679
2019-06-15 
а) Рассмотрим функцию $f (x, y) = x^2 + xy + y^2$. Докажите, что для любой точки $(x, у)$ найдутся такие целые числа $(m, n)$, что $f(x - m,y - n) = (x-m+(x-m) (y-n) + (y-n)^2 \leq 1/2$.
б) Обозначим через $f(x,y)$ наименьшее из чисел $f(x - m,y - n)$ при всех целых $m$ и $n$. Утверждение задачи а) состояло в том, что для всех $x, y$ выполнено неравенство $f(x, y) \leq 1/2$.
Докажите, что на самом деле верно более сильное неравенство $f (x, y) \leq 1 / 3$. Найдите все точки,для которых достигается равенство $f(x,y) = 1/3$.
в) Рассмотрим функцию $f_a (x, y) = x^2 + axy + У^2 (0 \leq a \leq 2)$. Найдите какое-либо число с зависящее от а так, чтобы для всех $(x, y)$ выполнялось неравенство $| \vec {f_a} (x, y)| \leq с$. Постарайтесь найти точную оценку.
Решение:
Мы должны для каждой точки $(x, y)$ плоскости найти точку целочисленной решетки $(m, n)$, для которой величина $f_a(x - m, y - n)$ как можно меньше, и найти оценку этого минимума $\vec {f_a} (x, y) = min_{m, n} f_a(x - m, y - n)$ сверху. Удобно величину $\sqrt {f_a (x_1 - x_2, y_1 - y_2)}$ называть «расстоянием» между точками $(x_1,y_1)$ и $(x_2, y_2)$ по аналогии с обычным расстоянием $\sqrt {f_0 (x_1 - x_2, y_1 - y_2)} = \sqrt {(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$. Заметим, что для этого расстояния точная оценка такова: $\frac{1}{2}$. В самом деле, для каждого из квадратов $m - \frac{1}{2} \leq x \leq m + \frac{1}{2}, n - \frac{1}{2} \leq y \leq n + \frac{1}{2}$ расстояние от любой его точки $(x, y)$ до центра $(m, n)$ не больше $\frac{ \sqrt{2}}{2}$, причем для любой вершины такого квадрата оно равно $\frac{ \sqrt{2}}{2}$, т. е. $\vec {f_0}(x_0,y_0) = \frac{1}{2}$.
Попробуем и для других «расстояний» $\sqrt {\vec {f_a}} 0 < a < 2$, построить разбиение плоскости на фигуры $\Phi_{m,n}$ по такому признаку: точка $(x, y)$ относится к $\Phi_{m,n}$, если «расстояние» от нее до $(m, n)$ меньше (или не больше), чем до любой другой точки решетки. Достаточно найти фигуру $\Phi_{0,0}$ с центром $(0; 0)$ - остальные получатся из нее переносами центров на векторы с координатами $(m; n)$; поскольку при таких переносах сохраняется расстояние $\sqrt {\vec {f_a}}$, то сохраняется и принцип, по которому отбираются точки области с тем или иным центром. Сейчас мы используем тот факт, что квадрат расстояния $f_a$ - квадратичная функция от координат. Множество точек, которые ближе к (0; 0), чем к $(m; n)$, - это просто полуплоскость: неравенство
$x^2 + nxy + y^2 \leq (x - m)^2 + a (x - m) (y - n) + (y - n)^2$
эквивалентно линейному
$(2m + аn) x + (2n + am) y \geq m^2 + amn + n^2$.
Чтобы найти фигуру $\Phi_{0,0}$, надо было бы взять пересечение всех таких полуплоскостей (по всем $(m;n)$, отличным от $(0;0)$). Оказывается, что достаточно взять лишь шесть из них, соответствующие шести парам $(0; \pm 1), (\pm l;0), (1;-1), (-1; 1)$. Это будет ясно, когда мы убедимся, что пересечение таких шести полуплоскостей (это выпуклый шестиугольник ($-1 \leq 2x + ay \leq 1, -1 \leq aх + 2y \leq 1, -1 \leq x - y \leq 1$) не пересекается со своими образами при параллельных переносах на векторы $(m; n)$ (точнее, имеет с ними лишь общие участки границы, рис.); таким образом он не может быть меньше, чем этот шестиугольник, и значит, с ним совпадает. Максимум $f_a (x, y)$ при $(x, y) \in \Phi_{0,0}$ достигается в вершинах этого шестиугольника: ведь при движении по отрезку любой прямой $x = b + ut, y = c + vt$ квадрат расстояния $f_a(b + ut, c + vt)$ зависит от $i$ как квадратный трехчлен с положительным коэффициентом $u^2 + auv + v^2$ при $t^2$ так что $f_a$ принимает максимальное значение на концах отрезка. Найдя координаты вершин (рис.) и подставив их в выражение для $f_a$, мы получим точную оценку для $\vec {f_a}; \vec {f_a} \leq \frac{1}{a + 2}$. Та же оценка верна и для $a = 2$, когда $\vec {f_2}(x, y)$ есть просто квадрат разности между $x + у$ и ближайшим целым числом; точная оценка $\vec {f_2}(x,y) \leq \frac{1}{4}$.
Основная идея решения этой задачи - разбиение плоскости на области, содержащие заданные центры, при котором каждая точка относится к ближайшему центру - используется в разных задачах анализа, геометрии, теории чисел.
а) Рассмотрим функцию $f (x, y) = x^2 + xy + y^2$. Докажите, что для любой точки $(x, у)$ найдутся такие целые числа $(m, n)$, что $f(x - m,y - n) = (x-m+(x-m) (y-n) + (y-n)^2 \leq 1/2$.
б) Обозначим через $f(x,y)$ наименьшее из чисел $f(x - m,y - n)$ при всех целых $m$ и $n$. Утверждение задачи а) состояло в том, что для всех $x, y$ выполнено неравенство $f(x, y) \leq 1/2$.
Докажите, что на самом деле верно более сильное неравенство $f (x, y) \leq 1 / 3$. Найдите все точки,для которых достигается равенство $f(x,y) = 1/3$.
в) Рассмотрим функцию $f_a (x, y) = x^2 + axy + У^2 (0 \leq a \leq 2)$. Найдите какое-либо число с зависящее от а так, чтобы для всех $(x, y)$ выполнялось неравенство $| \vec {f_a} (x, y)| \leq с$. Постарайтесь найти точную оценку.
Решение:
Мы должны для каждой точки $(x, y)$ плоскости найти точку целочисленной решетки $(m, n)$, для которой величина $f_a(x - m, y - n)$ как можно меньше, и найти оценку этого минимума $\vec {f_a} (x, y) = min_{m, n} f_a(x - m, y - n)$ сверху. Удобно величину $\sqrt {f_a (x_1 - x_2, y_1 - y_2)}$ называть «расстоянием» между точками $(x_1,y_1)$ и $(x_2, y_2)$ по аналогии с обычным расстоянием $\sqrt {f_0 (x_1 - x_2, y_1 - y_2)} = \sqrt {(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$. Заметим, что для этого расстояния точная оценка такова: $\frac{1}{2}$. В самом деле, для каждого из квадратов $m - \frac{1}{2} \leq x \leq m + \frac{1}{2}, n - \frac{1}{2} \leq y \leq n + \frac{1}{2}$ расстояние от любой его точки $(x, y)$ до центра $(m, n)$ не больше $\frac{ \sqrt{2}}{2}$, причем для любой вершины такого квадрата оно равно $\frac{ \sqrt{2}}{2}$, т. е. $\vec {f_0}(x_0,y_0) = \frac{1}{2}$.
Попробуем и для других «расстояний» $\sqrt {\vec {f_a}} 0 < a < 2$, построить разбиение плоскости на фигуры $\Phi_{m,n}$ по такому признаку: точка $(x, y)$ относится к $\Phi_{m,n}$, если «расстояние» от нее до $(m, n)$ меньше (или не больше), чем до любой другой точки решетки. Достаточно найти фигуру $\Phi_{0,0}$ с центром $(0; 0)$ - остальные получатся из нее переносами центров на векторы с координатами $(m; n)$; поскольку при таких переносах сохраняется расстояние $\sqrt {\vec {f_a}}$, то сохраняется и принцип, по которому отбираются точки области с тем или иным центром. Сейчас мы используем тот факт, что квадрат расстояния $f_a$ - квадратичная функция от координат. Множество точек, которые ближе к (0; 0), чем к $(m; n)$, - это просто полуплоскость: неравенство
$x^2 + nxy + y^2 \leq (x - m)^2 + a (x - m) (y - n) + (y - n)^2$
эквивалентно линейному
$(2m + аn) x + (2n + am) y \geq m^2 + amn + n^2$.
Чтобы найти фигуру $\Phi_{0,0}$, надо было бы взять пересечение всех таких полуплоскостей (по всем $(m;n)$, отличным от $(0;0)$). Оказывается, что достаточно взять лишь шесть из них, соответствующие шести парам $(0; \pm 1), (\pm l;0), (1;-1), (-1; 1)$. Это будет ясно, когда мы убедимся, что пересечение таких шести полуплоскостей (это выпуклый шестиугольник ($-1 \leq 2x + ay \leq 1, -1 \leq aх + 2y \leq 1, -1 \leq x - y \leq 1$) не пересекается со своими образами при параллельных переносах на векторы $(m; n)$ (точнее, имеет с ними лишь общие участки границы, рис.); таким образом он не может быть меньше, чем этот шестиугольник, и значит, с ним совпадает. Максимум $f_a (x, y)$ при $(x, y) \in \Phi_{0,0}$ достигается в вершинах этого шестиугольника: ведь при движении по отрезку любой прямой $x = b + ut, y = c + vt$ квадрат расстояния $f_a(b + ut, c + vt)$ зависит от $i$ как квадратный трехчлен с положительным коэффициентом $u^2 + auv + v^2$ при $t^2$ так что $f_a$ принимает максимальное значение на концах отрезка. Найдя координаты вершин (рис.) и подставив их в выражение для $f_a$, мы получим точную оценку для $\vec {f_a}; \vec {f_a} \leq \frac{1}{a + 2}$. Та же оценка верна и для $a = 2$, когда $\vec {f_2}(x, y)$ есть просто квадрат разности между $x + у$ и ближайшим целым числом; точная оценка $\vec {f_2}(x,y) \leq \frac{1}{4}$.
Основная идея решения этой задачи - разбиение плоскости на области, содержащие заданные центры, при котором каждая точка относится к ближайшему центру - используется в разных задачах анализа, геометрии, теории чисел.
