Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3677
2019-06-15 
На бесконечном листе клетчатой бумаги $N$ клеток выкрашено в черный цвет. Докажите, что из листа можно вырезать конечное число квадратов так, что будут выполнены два условия:
1) все черные клетки будут лежать в вырезанных квадратах,
2) в любом вырезанном квадрате площадь черных клеток составит не менее 1/5 и не более 4/5 площади этого квадрата.
Решение:
Можно действовать методом «деления пополам». Вырежем из плоскости большой квадрат $k_0$ из $2n \times 2n$ клеток, содержащий все черные клетки и еще по крайней мере в 4 раза больше белых клеток; тогда площадь черных клеток составляет менее 1/5 площади квадрата $k_0$. Разрежем $k_0$ на четыре квадрата $k_1$ из $2^{n-l} \times 2^{n-l}$ клеток. В каждом из $k_1$ черные клетки занимают не больше 4/5 его площади, так что либо он удовлетворяет обоим условиям 1), 2), либо его можно вновь разрезать на четыре квадрата $k_2$ и т. д., вплоть до квадратов $2 \times 2$, из которых все пустые нужно выбросить, а все с одной, двумя и тремя закрашенными клетками - оставить.
Аналогичные задачи можно сформулировать для прямой, разбитой ка единичные отрезки (с константами 1/3 и 2/3), для пространства, разбитого на кубы (с константами 1/9 и 8/9).
На бесконечном листе клетчатой бумаги $N$ клеток выкрашено в черный цвет. Докажите, что из листа можно вырезать конечное число квадратов так, что будут выполнены два условия:
1) все черные клетки будут лежать в вырезанных квадратах,
2) в любом вырезанном квадрате площадь черных клеток составит не менее 1/5 и не более 4/5 площади этого квадрата.
Решение:
Можно действовать методом «деления пополам». Вырежем из плоскости большой квадрат $k_0$ из $2n \times 2n$ клеток, содержащий все черные клетки и еще по крайней мере в 4 раза больше белых клеток; тогда площадь черных клеток составляет менее 1/5 площади квадрата $k_0$. Разрежем $k_0$ на четыре квадрата $k_1$ из $2^{n-l} \times 2^{n-l}$ клеток. В каждом из $k_1$ черные клетки занимают не больше 4/5 его площади, так что либо он удовлетворяет обоим условиям 1), 2), либо его можно вновь разрезать на четыре квадрата $k_2$ и т. д., вплоть до квадратов $2 \times 2$, из которых все пустые нужно выбросить, а все с одной, двумя и тремя закрашенными клетками - оставить.
Аналогичные задачи можно сформулировать для прямой, разбитой ка единичные отрезки (с константами 1/3 и 2/3), для пространства, разбитого на кубы (с константами 1/9 и 8/9).
