Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3676
2019-06-15 
а) В вершине $A_1$ правильного 12-угольника $A_1A_2 \cdots A_{12}$ стоит знак минус, а в остальных - плюсы. Разрешается одновременно менять знак на противоположный в любых шести последовательных вершинах многоугольника. Докажите, что за несколько таких операций нельзя добиться того, чтобы в вершине $A_2$ оказался знак минус, а в остальных вершинах - плюсы.
б) Докажите то же утверждение, если разрешается менять знаки не в шести, а в четырех последовательных вершинах многоугольника.
в) Докажите то же утверждение, если разрешается одновременно менять знак в трех последовательных вершинах многоугольника.
Решение:
а) Разобьем все 12 вершин на 6 пар противоположных вершин: $A_1A_7, A_2A_8, A_3A_9 \cdots, A_6A_{12}$. При каждой операции в каждой паре меняет знак только одна вершина. Поэтому в парах $A_2A_8, \cdots, A_6A_{12}$ после $(2k- 1)$-й операции будут разные знаки, а после $2k$-й - одинаковые (в паре $A_1A_7$ будет все наоборот). Поэтому не может случиться, что в паре $A_2A_8$ знаки разные, а в паре $A_3A_9$ - одинаковые.
б) Рассмотрим разбиение на 4 группы по три вершины: $A_1A_5A_9, A_2A_6A_{10}, A_3A_7A_{11}, A_4A_8A_{12}$ и будем рассуждать так же, как выше. Четность числа минусов в каждой группе меняется при каждой операции, и у групп $A_2A_6A_{10}$ и $A_3A_7A_{11}$ она одинаковая.
в) Аналогичные рассуждения для разбиения на 3 группы $A_1A_4A_7A_10, A_2A_5A_8A_{11}, A_3A_6A_9A_{12}$.
Вообще, можно выяснить, какие наборы получаются друг из друга сменами знака у $k$ последовательных вершин $n$-угольника. Ответ таков: сопоставим каждому набору $\epsilon_1, \epsilon_2, \cdots, \epsilon_n$ чисел $\epsilon_k = \pm l$ в вершинах $n$-угольника набор $d$ чисел $(x_1, x_2, \cdots, x_d)$, где $d = НОД(n,к)$, следующим образом:
$x_i = \epsilon_i \epsilon_{i+d} \cdots \epsilon_{i+n-d}$.
Тогда два набора $(\epsilon_i), (\epsilon^{ \prime}_i)$ можно перевести друг в друга в том и только в том случае, если либо соответствующие наборы $(x_i), (x^{ \prime}_i)$ одинаковы, либо $k/d$ четно и наборы $(x_i), (x^{ \prime}_i)$ противоположны: $x_i = - x^{ \prime}_i$ для всех $i$.
а) В вершине $A_1$ правильного 12-угольника $A_1A_2 \cdots A_{12}$ стоит знак минус, а в остальных - плюсы. Разрешается одновременно менять знак на противоположный в любых шести последовательных вершинах многоугольника. Докажите, что за несколько таких операций нельзя добиться того, чтобы в вершине $A_2$ оказался знак минус, а в остальных вершинах - плюсы.
б) Докажите то же утверждение, если разрешается менять знаки не в шести, а в четырех последовательных вершинах многоугольника.
в) Докажите то же утверждение, если разрешается одновременно менять знак в трех последовательных вершинах многоугольника.
Решение:
а) Разобьем все 12 вершин на 6 пар противоположных вершин: $A_1A_7, A_2A_8, A_3A_9 \cdots, A_6A_{12}$. При каждой операции в каждой паре меняет знак только одна вершина. Поэтому в парах $A_2A_8, \cdots, A_6A_{12}$ после $(2k- 1)$-й операции будут разные знаки, а после $2k$-й - одинаковые (в паре $A_1A_7$ будет все наоборот). Поэтому не может случиться, что в паре $A_2A_8$ знаки разные, а в паре $A_3A_9$ - одинаковые.
б) Рассмотрим разбиение на 4 группы по три вершины: $A_1A_5A_9, A_2A_6A_{10}, A_3A_7A_{11}, A_4A_8A_{12}$ и будем рассуждать так же, как выше. Четность числа минусов в каждой группе меняется при каждой операции, и у групп $A_2A_6A_{10}$ и $A_3A_7A_{11}$ она одинаковая.
в) Аналогичные рассуждения для разбиения на 3 группы $A_1A_4A_7A_10, A_2A_5A_8A_{11}, A_3A_6A_9A_{12}$.
Вообще, можно выяснить, какие наборы получаются друг из друга сменами знака у $k$ последовательных вершин $n$-угольника. Ответ таков: сопоставим каждому набору $\epsilon_1, \epsilon_2, \cdots, \epsilon_n$ чисел $\epsilon_k = \pm l$ в вершинах $n$-угольника набор $d$ чисел $(x_1, x_2, \cdots, x_d)$, где $d = НОД(n,к)$, следующим образом:
$x_i = \epsilon_i \epsilon_{i+d} \cdots \epsilon_{i+n-d}$.
Тогда два набора $(\epsilon_i), (\epsilon^{ \prime}_i)$ можно перевести друг в друга в том и только в том случае, если либо соответствующие наборы $(x_i), (x^{ \prime}_i)$ одинаковы, либо $k/d$ четно и наборы $(x_i), (x^{ \prime}_i)$ противоположны: $x_i = - x^{ \prime}_i$ для всех $i$.
