Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3675
2019-06-15 
Докажите, что из 25 различных положительных чисел можно выбрать два таких числа, что ни одно из оставшихся не равно ни сумме, ни разности (между большим и меньшим) выбранных чисел.
Решение:
Утверждение верно для $n$ чисел при любом $n \geq 4$ и доказывается «от противного». Предположим, что сумма или разность любых двух из $n$ различных чисел $a_1 < a_2 < \cdots < a_{n-1} < a_n$ содержится среди остальных $n - 2$ чисел. Тогда $a_n + a_i > a_n$ и потому должны выполняться равенства $a_n - a_i = a_{n-i} (1 \leq i \leq n - 1)$. При четном $n = 2k$ получаем $a_n - a_k = a_k$ - значит, разность $a_n$ и $a;_k$ не содержится среди остальных чисел. При нечетном $n = 2k + 1$ надо еще рассмотреть пары $(a_{n-1}, a_i)$: для них $a_{n-1} + a_1 = a_n, a_{n-1} + a_i > a_n$ при $2 \leq i \leq n - 2$ и потому должны выполняться равенства $a_{n-1} - a_i = a_{n-i-1}$, в частности $a_{n-1} - a_k = a_k$, что также приводит к противоречию.
Докажите, что из 25 различных положительных чисел можно выбрать два таких числа, что ни одно из оставшихся не равно ни сумме, ни разности (между большим и меньшим) выбранных чисел.
Решение:
Утверждение верно для $n$ чисел при любом $n \geq 4$ и доказывается «от противного». Предположим, что сумма или разность любых двух из $n$ различных чисел $a_1 < a_2 < \cdots < a_{n-1} < a_n$ содержится среди остальных $n - 2$ чисел. Тогда $a_n + a_i > a_n$ и потому должны выполняться равенства $a_n - a_i = a_{n-i} (1 \leq i \leq n - 1)$. При четном $n = 2k$ получаем $a_n - a_k = a_k$ - значит, разность $a_n$ и $a;_k$ не содержится среди остальных чисел. При нечетном $n = 2k + 1$ надо еще рассмотреть пары $(a_{n-1}, a_i)$: для них $a_{n-1} + a_1 = a_n, a_{n-1} + a_i > a_n$ при $2 \leq i \leq n - 2$ и потому должны выполняться равенства $a_{n-1} - a_i = a_{n-i-1}$, в частности $a_{n-1} - a_k = a_k$, что также приводит к противоречию.
