Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3674
2019-06-15 
а) Докажите, что прямая, разбивающая данный треугольник на два многоугольника равной площади и равного периметра, проходит через центр окружности, вписанной в треугольник.
б) Докажите аналогичное утверждение для произвольного многоугольника, в который можно вписать окружность.
в) Докажите, что все прямые, делящие одновременно и площадь, и периметр треугольника пополам, пересекаются в одной точке.
Решение:
Решим сразу общую задачу б). Пусть прямая $l$ пересекает контур описанного многоугольника в точках $R$ и $Q$ и делит пополам его периметр. Тогда ломаная из двух отрезков $OR$ и $OQ$, где $O$ - центр круга, делит пополам его площадь; это доказывается так же, как формула $S = Pr/2$ для площади описанного многоугольника периметра $P$: нужно провести из центра $O$ отрезки ко всем вершинам многоугольника и записать площадь каждого треугольника как половину произведения длины основания на высоту, равную радиусу круга. Поэтому если прямая $RQ$ делит также площадь пополам, то точка $O$ должна лежать на этой прямой.
а) Докажите, что прямая, разбивающая данный треугольник на два многоугольника равной площади и равного периметра, проходит через центр окружности, вписанной в треугольник.
б) Докажите аналогичное утверждение для произвольного многоугольника, в который можно вписать окружность.
в) Докажите, что все прямые, делящие одновременно и площадь, и периметр треугольника пополам, пересекаются в одной точке.
Решение:
Решим сразу общую задачу б). Пусть прямая $l$ пересекает контур описанного многоугольника в точках $R$ и $Q$ и делит пополам его периметр. Тогда ломаная из двух отрезков $OR$ и $OQ$, где $O$ - центр круга, делит пополам его площадь; это доказывается так же, как формула $S = Pr/2$ для площади описанного многоугольника периметра $P$: нужно провести из центра $O$ отрезки ко всем вершинам многоугольника и записать площадь каждого треугольника как половину произведения длины основания на высоту, равную радиусу круга. Поэтому если прямая $RQ$ делит также площадь пополам, то точка $O$ должна лежать на этой прямой.
