Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3671
2019-06-15 
Докажите, что если для чисел $p_1, p_2, q_1, q_2$ выполнено неравенство $(q_1 - q_2)^2 + (p_1 - p_2)(p_1q_2 - p_2q_1) < 0$, то квадратные трехчлены $x^2 + p_1x + q_1$ и $x^2 + p_2x + q_2$ имеют вещественные корни и между двумя корнями каждого из них лежит корень другого.
Решение:
Условие, что корни трехчленов $f_1 (x) = x^2 + p_1x + q_1$ и $f_2(x) = x^2 + p_2x + q_2$ вещественны и перемежаются, эквивалентно тому, что графики $y = f_1(x)$ и $у = f_2(x)$ пересекаются в точке $(x_0,y_0)$, лежащей ниже оси абсцисс: $y_0 < 0$. Решая уравнение $f_1(x) = f_2(x)$, находим $x_0 = \frac{q_2 - q_1}{p_2 - p_1}$ и $y_0 = R (p_1 - p_2)^2$, где
$R = (q_1 - q_2)^2 + (p_1 - p_2)(p_1q_2 - p_2q_1)$.
Выражение $R$ равно нулю тогда и только тогда, когда $f_1$ и $f_2$ имеют общий (быть может, комплексный) корень. Такой многочлен от коэффициентов двух данных многочленов $f_1$ и $f_2$ любых степеней называется их «результатом».
Докажите, что если для чисел $p_1, p_2, q_1, q_2$ выполнено неравенство $(q_1 - q_2)^2 + (p_1 - p_2)(p_1q_2 - p_2q_1) < 0$, то квадратные трехчлены $x^2 + p_1x + q_1$ и $x^2 + p_2x + q_2$ имеют вещественные корни и между двумя корнями каждого из них лежит корень другого.
Решение:
Условие, что корни трехчленов $f_1 (x) = x^2 + p_1x + q_1$ и $f_2(x) = x^2 + p_2x + q_2$ вещественны и перемежаются, эквивалентно тому, что графики $y = f_1(x)$ и $у = f_2(x)$ пересекаются в точке $(x_0,y_0)$, лежащей ниже оси абсцисс: $y_0 < 0$. Решая уравнение $f_1(x) = f_2(x)$, находим $x_0 = \frac{q_2 - q_1}{p_2 - p_1}$ и $y_0 = R (p_1 - p_2)^2$, где
$R = (q_1 - q_2)^2 + (p_1 - p_2)(p_1q_2 - p_2q_1)$.
Выражение $R$ равно нулю тогда и только тогда, когда $f_1$ и $f_2$ имеют общий (быть может, комплексный) корень. Такой многочлен от коэффициентов двух данных многочленов $f_1$ и $f_2$ любых степеней называется их «результатом».
