Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3670
2019-06-15 
В три сосуда налито по целому числу литров воды. В любой сосуд разрешается перелить столько воды, сколько в нем уже содержится, из любого другого сосуда. Докажите, что несколькими такими переливаниями можно освободить один из сосудов. (Сосуды достаточно велики: каждый может вместить всю имеющуюся воду.)
Решение:
Пусть в сосудах $A, B$ и $C$ соответственно $a, b$ и $c$ литров воды, $0 < a \leq b \leq c$. Достаточно несколькими переливаниями добиться того, что в одном из сосудов станет меньше $a$ литров воды (повторяя такую процедуру, мы сможем уменьшить количество воды в одном сосуде до 0). Разделим $b$ на $a$ с остатком: $b = ad + r, 0 \leq r < a$. Будем выливать воду из $B$ и $C$ в $A$, (в $A$ будет становиться $2a, 2^2a, 2^3a, \cdots, 2^k a$ литров воды) с таким расчетом, чтобы из $B$ вылить как раз $da$ литров; тогда в $B$ останется $r < а$ литров. Так действовать можно - ведь $d$, как каждое натуральное число, можно и притом единственным образом представить в виде суммы некоторых из чисел $1, 2, 2^2, \cdots, 2^k, \cdots$. Соответствующие порции воды $2^ka$ нужно брать из $B$, остальные - из $C$.
При этом из $C$ нужно будет вылить не больше воды, чем из $B$, откуда берется последняя порция, поэтому воды в $C$ хватит.
В три сосуда налито по целому числу литров воды. В любой сосуд разрешается перелить столько воды, сколько в нем уже содержится, из любого другого сосуда. Докажите, что несколькими такими переливаниями можно освободить один из сосудов. (Сосуды достаточно велики: каждый может вместить всю имеющуюся воду.)
Решение:
Пусть в сосудах $A, B$ и $C$ соответственно $a, b$ и $c$ литров воды, $0 < a \leq b \leq c$. Достаточно несколькими переливаниями добиться того, что в одном из сосудов станет меньше $a$ литров воды (повторяя такую процедуру, мы сможем уменьшить количество воды в одном сосуде до 0). Разделим $b$ на $a$ с остатком: $b = ad + r, 0 \leq r < a$. Будем выливать воду из $B$ и $C$ в $A$, (в $A$ будет становиться $2a, 2^2a, 2^3a, \cdots, 2^k a$ литров воды) с таким расчетом, чтобы из $B$ вылить как раз $da$ литров; тогда в $B$ останется $r < а$ литров. Так действовать можно - ведь $d$, как каждое натуральное число, можно и притом единственным образом представить в виде суммы некоторых из чисел $1, 2, 2^2, \cdots, 2^k, \cdots$. Соответствующие порции воды $2^ka$ нужно брать из $B$, остальные - из $C$.
При этом из $C$ нужно будет вылить не больше воды, чем из $B$, откуда берется последняя порция, поэтому воды в $C$ хватит.
