Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3669
2019-06-15 
В квадрате со стороной 1 расположено несколько кругов, диаметр каждого из которых меньше 0,001. Расстояние между любыми двумя точками любых двух кругов не равно 0,001. Докажите, что общая площадь, покрытая кругами, не превышает 0,34.
Решение:
Рассмотрим фигуры $F_1$ и $F_2$ полученные из данной фигуры $F$ (объединения кругов) переносами на векторы длины 0,001, составляющие угол $60^{\circ}$ друг с другом.
Три фигуры $F, F_1, F_2$ не перекрываются и лежат внутри квадрата со стороной 1,001. Поэтому площадь $S$ каждой из них меньше чем
$\frac{1,001^2}{3} < 0,34$.
Аналогичным образом для пространственного аналога этой задаче можно получить оценку $\frac{1,001^2}{4} < 0,26$.
На плоскости можно существенно уточнить оценку: например, доказать, что $S < 0,287$.
В квадрате со стороной 1 расположено несколько кругов, диаметр каждого из которых меньше 0,001. Расстояние между любыми двумя точками любых двух кругов не равно 0,001. Докажите, что общая площадь, покрытая кругами, не превышает 0,34.
Решение:
Рассмотрим фигуры $F_1$ и $F_2$ полученные из данной фигуры $F$ (объединения кругов) переносами на векторы длины 0,001, составляющие угол $60^{\circ}$ друг с другом.
Три фигуры $F, F_1, F_2$ не перекрываются и лежат внутри квадрата со стороной 1,001. Поэтому площадь $S$ каждой из них меньше чем
$\frac{1,001^2}{3} < 0,34$.
Аналогичным образом для пространственного аналога этой задаче можно получить оценку $\frac{1,001^2}{4} < 0,26$.
На плоскости можно существенно уточнить оценку: например, доказать, что $S < 0,287$.
