Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3667
2019-06-15 
а) Дан треугольник $A_1A_2A_3$. На его стороне $A_1A_2$ взяты точки $B_1$ и $D_2$, на стороне $A_2A_3$ - точки $B_2$ и $D_3$, на стороне $A_3A_1$ - точки $B_3$ и $D_1$ так, что если построить параллелограммы $A_1B_1C_1D_1, A_2B_2C_2D_2$ и $A_3B_3C_3D_3$, то прямые $A_1C_1, A_2C_2$ и $A_3C_3$ пересекутся в одной точке $О$. Докажите, что если $A_1B_1 = A_2D_2$ и
$A_2B_2 = A_3B_3$, то $A_3B_3 = A_1D_1$ (рис.).
б) Дан выпуклый многоугольник $A_1A_2 \cdots A_n$. На его стороне $A_1A_2$ взяты точки $B_1$ и $D_2$, на стороне $A_2A_3$ - точки $B_2$ и $D_3$, на стороне $A_2A_3$ - точки $B_n$ и $D_1$ так, что если построить параллелограммы $A_1B_1C_1D_1, A_2B_2C_2D_2, \cdots, A_nB_nC_nD_n$, то прямые $A_1C_1, A_2C_2, A_3C_3, \cdots, A_nC_n$ пересекутся в одной точке $О$. Докажите, что равны произведения длин
$A_1B_1 \cdot A_2B_2 \cdot A_3B_3 \cdot \cdots \cdot A_nB_n = A_1D_1 - A_2D_2 \cdot \cdots \cdot A_nD_n$.
Решение:
Задача а) следует из б), так что мы приведем лишь решение этой более общей задачи.
Точки $B_k$ и $D_k$ одинаково удалены от прямой $OA_k$. Поэтому $S_OA_kB_k = S_OA_kD_k$. Перемножив $n$ равенств и записав каждую площадь как произведение основания $A_kB_k$ или $A_kD_k$ на половину соответствующей высоты (расстояния от $О$ до стороны многоугольника), получим требуемое равенство: длины высот в произведении сократятся.
В условиях задачи а) силы $\vec{A_kC_k}$ приложенные в точках $A_k$ к твердой пластине $A_1A_2A_3$, взаимно уравновешиваются - пластина будет неподвижна; равны нулю сумма сил (как векторов) и сумма их моментов, поскольку момент каждой из этих сил относительно точки $О$ равен нулю.
Для треугольника равенство произведений, выписанное в условии, является не только необходимым, но и достаточным условием для того, чтобы прямые $A_kC_k$ пересекались в одной точке $О$.
а) Дан треугольник $A_1A_2A_3$. На его стороне $A_1A_2$ взяты точки $B_1$ и $D_2$, на стороне $A_2A_3$ - точки $B_2$ и $D_3$, на стороне $A_3A_1$ - точки $B_3$ и $D_1$ так, что если построить параллелограммы $A_1B_1C_1D_1, A_2B_2C_2D_2$ и $A_3B_3C_3D_3$, то прямые $A_1C_1, A_2C_2$ и $A_3C_3$ пересекутся в одной точке $О$. Докажите, что если $A_1B_1 = A_2D_2$ и
$A_2B_2 = A_3B_3$, то $A_3B_3 = A_1D_1$ (рис.).
б) Дан выпуклый многоугольник $A_1A_2 \cdots A_n$. На его стороне $A_1A_2$ взяты точки $B_1$ и $D_2$, на стороне $A_2A_3$ - точки $B_2$ и $D_3$, на стороне $A_2A_3$ - точки $B_n$ и $D_1$ так, что если построить параллелограммы $A_1B_1C_1D_1, A_2B_2C_2D_2, \cdots, A_nB_nC_nD_n$, то прямые $A_1C_1, A_2C_2, A_3C_3, \cdots, A_nC_n$ пересекутся в одной точке $О$. Докажите, что равны произведения длин
$A_1B_1 \cdot A_2B_2 \cdot A_3B_3 \cdot \cdots \cdot A_nB_n = A_1D_1 - A_2D_2 \cdot \cdots \cdot A_nD_n$.
Решение:
Задача а) следует из б), так что мы приведем лишь решение этой более общей задачи.
Точки $B_k$ и $D_k$ одинаково удалены от прямой $OA_k$. Поэтому $S_OA_kB_k = S_OA_kD_k$. Перемножив $n$ равенств и записав каждую площадь как произведение основания $A_kB_k$ или $A_kD_k$ на половину соответствующей высоты (расстояния от $О$ до стороны многоугольника), получим требуемое равенство: длины высот в произведении сократятся.
В условиях задачи а) силы $\vec{A_kC_k}$ приложенные в точках $A_k$ к твердой пластине $A_1A_2A_3$, взаимно уравновешиваются - пластина будет неподвижна; равны нулю сумма сил (как векторов) и сумма их моментов, поскольку момент каждой из этих сил относительно точки $О$ равен нулю.
Для треугольника равенство произведений, выписанное в условии, является не только необходимым, но и достаточным условием для того, чтобы прямые $A_kC_k$ пересекались в одной точке $О$.
