Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3666
2019-06-15 
Докажите, что для любого натурального $n$ найдется число, составленное из цифр 1 и 2, делящееся на $2^n$.
Решение:
Это можно доказать по индукции. При $n = 1$ следует взять число 2. Если $A = 2^n \cdot B - n$-значное число, делящееся на $2^n$, то одно из чисел $2 \cdot 10^n + A$ или $1 \cdot 10^n + A$ делится на $2^{n+1}$, потому что одно из чисел $5^n + B$ или $2 \cdot 5^n + B$ четно.
Искомое число для каждого $n$ ровно одно; более того, все $n$-значные числа, составленные из цифр 1 и 2, дают разные остатки при делении на $n$. Пользуясь этим, можно получить другое решение задачи.
Докажите, что для любого натурального $n$ найдется число, составленное из цифр 1 и 2, делящееся на $2^n$.
Решение:
Это можно доказать по индукции. При $n = 1$ следует взять число 2. Если $A = 2^n \cdot B - n$-значное число, делящееся на $2^n$, то одно из чисел $2 \cdot 10^n + A$ или $1 \cdot 10^n + A$ делится на $2^{n+1}$, потому что одно из чисел $5^n + B$ или $2 \cdot 5^n + B$ четно.
Искомое число для каждого $n$ ровно одно; более того, все $n$-значные числа, составленные из цифр 1 и 2, дают разные остатки при делении на $n$. Пользуясь этим, можно получить другое решение задачи.
