Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3662
2019-06-15 
Два равных между собой прямоугольника расположены так, что их контуры пересекаются в восьми точках. Докажите, что площадь общей части этих прямоугольников больше половины площади каждого из них.
Решение:
Пусть $a$ и $b$ - длины сторон каждого прямоугольника. Если контуры прямоугольников пересекаются в восьми точках, то на каждой стороне любого из них лежит ровно две точки пересечения с соседними сторонами другого. Если на какой-то стороне окажется меньше двух точек пересечения, то всего будет меньше восьми таких точек. Поэтому никакая сторона одного прямоугольника не может пересечь двух параллельных сторон другого.
Пусть теперь $A$ и $C$ - точки, в которых пересекаются стороны длины $A$; $B$ и $D$ - точки, в которых пересекаются сторона длины $B$ (рис.). Отрезки $AC$ и $BD$, как легко видеть, служат биссектрисами углов, образованных сторонами» проходящими через точки $A$, $C$ и соответственно $B, D$; следовательно, $AC \perp BD$. Площадь $S$ четырехугольника $ABCD$ равна $AC \cdot BD$, а поскольку $AC \geq b, BD \geq a$, то $S \geq \frac{ab}{2}$.
Два равных между собой прямоугольника расположены так, что их контуры пересекаются в восьми точках. Докажите, что площадь общей части этих прямоугольников больше половины площади каждого из них.
Решение:
Пусть $a$ и $b$ - длины сторон каждого прямоугольника. Если контуры прямоугольников пересекаются в восьми точках, то на каждой стороне любого из них лежит ровно две точки пересечения с соседними сторонами другого. Если на какой-то стороне окажется меньше двух точек пересечения, то всего будет меньше восьми таких точек. Поэтому никакая сторона одного прямоугольника не может пересечь двух параллельных сторон другого.
Пусть теперь $A$ и $C$ - точки, в которых пересекаются стороны длины $A$; $B$ и $D$ - точки, в которых пересекаются сторона длины $B$ (рис.). Отрезки $AC$ и $BD$, как легко видеть, служат биссектрисами углов, образованных сторонами» проходящими через точки $A$, $C$ и соответственно $B, D$; следовательно, $AC \perp BD$. Площадь $S$ четырехугольника $ABCD$ равна $AC \cdot BD$, а поскольку $AC \geq b, BD \geq a$, то $S \geq \frac{ab}{2}$.
