Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3661
2019-06-15 
Докажите, что для каждого натурального числа $k$ существует бесконечно много натуральных чисел $t$ не содержащих нулей в десятичной записи и таких, что $t$ и $kt$ имеют одинаковые суммы цифр.
Решение:
Если запись числа $k$ имеет вид $k = a_na_{n-1} \cdots a_0$ и $t$ - число из $m > n$ девяток: $t = \underbrace{99 \cdots 9}_{m \:цифр} = 10^{m} - 1$, тогда
$k_t = a_na_{n-1} \cdots (a_0 - 1) \underbrace{99 \cdots 9 (9 - a_n)(9 - a_{n-1} \cdots (9-a_1)(10 - a_0)}_{m \:цифр}$.
Сумма цифр $kt$ та же, что и у $t$ она равна $9m$.
Докажите, что для каждого натурального числа $k$ существует бесконечно много натуральных чисел $t$ не содержащих нулей в десятичной записи и таких, что $t$ и $kt$ имеют одинаковые суммы цифр.
Решение:
Если запись числа $k$ имеет вид $k = a_na_{n-1} \cdots a_0$ и $t$ - число из $m > n$ девяток: $t = \underbrace{99 \cdots 9}_{m \:цифр} = 10^{m} - 1$, тогда
$k_t = a_na_{n-1} \cdots (a_0 - 1) \underbrace{99 \cdots 9 (9 - a_n)(9 - a_{n-1} \cdots (9-a_1)(10 - a_0)}_{m \:цифр}$.
Сумма цифр $kt$ та же, что и у $t$ она равна $9m$.
