Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3660
2019-06-15 
В треугольнике $ABC$ через середину $M$ стороны $BC$ и центр $О$ вписанной в этот треугольник окружности проведена прямая $MO$, которая пересекает высоту $AH$ в точке $E$. Докажите, что отрезок $AE$ равен радиусу вписанной окружности.
Решение:
Первое решение. Пусть $P$ - точка касания вписанной окружности со стороной $BC, PQ$ диаметр вписанной окружности. В решении задачи 3634 было доказано, что $AQ \parallel MO$, поэтому $AEOQ$ - параллелограмм, так что $OQ = AE = r$.
Второе решение. Пусть $a, b, c$ - длины сторон треугольника, противолежащих вершинам $A, B, C$ соответственно. Можно считать, что $b > c$. Опустим из точки $O$ перпендикуляр $OP$ на $BC$. Тогда
$MC = \frac{a}{2}; PC = \frac{a+b-c}{2}; HC = \frac {a^2 + b^2 - c^2}{2a}$;
$\frac{EH}{OP} = \frac{HM}{PM} = \frac{HC - MC}{PC-MC} = \frac {2HC - a}{b-c} = \frac {a^2 + b^2 - c^2 - a^2}{a(b-c)} = \frac{b+c}{a}$;
$\frac{AE}{r} = \frac{AH}{r} - \frac{EH}{r} = \frac{a+b+c}{a} - \frac{b+c}{a} = 1$,
откуда $AE = r$.
В треугольнике $ABC$ через середину $M$ стороны $BC$ и центр $О$ вписанной в этот треугольник окружности проведена прямая $MO$, которая пересекает высоту $AH$ в точке $E$. Докажите, что отрезок $AE$ равен радиусу вписанной окружности.
Решение:
Первое решение. Пусть $P$ - точка касания вписанной окружности со стороной $BC, PQ$ диаметр вписанной окружности. В решении задачи 3634 было доказано, что $AQ \parallel MO$, поэтому $AEOQ$ - параллелограмм, так что $OQ = AE = r$.
Второе решение. Пусть $a, b, c$ - длины сторон треугольника, противолежащих вершинам $A, B, C$ соответственно. Можно считать, что $b > c$. Опустим из точки $O$ перпендикуляр $OP$ на $BC$. Тогда
$MC = \frac{a}{2}; PC = \frac{a+b-c}{2}; HC = \frac {a^2 + b^2 - c^2}{2a}$;
$\frac{EH}{OP} = \frac{HM}{PM} = \frac{HC - MC}{PC-MC} = \frac {2HC - a}{b-c} = \frac {a^2 + b^2 - c^2 - a^2}{a(b-c)} = \frac{b+c}{a}$;
$\frac{AE}{r} = \frac{AH}{r} - \frac{EH}{r} = \frac{a+b+c}{a} - \frac{b+c}{a} = 1$,
откуда $AE = r$.
