Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3658
2019-06-13 
Из цифр 1 и 2 составили пять $n$-значных чисел так, что у каждых двух чисел совпали цифры ровно в $m$ разрядах, но ни в одном разряде не совпали все пять чисел. Докажите, что
$\frac{2}{5} \leq \frac{m}{n} \leq \frac{3}{5}$.
Решение:
Рассмотрим всевозможные пары цифр, стоящих в разных числах в одном разряде. Поскольку нар чисел 10, то всего таких пар цифр будет $10n$. При этом пар разных цифр, т. е. пар $(1,2)$ в каждом разряде не меньше 4 и не больше 6, так что среди $10n$ выбранных пар общее количество пар $(1,2$) заключено между $4n$ и $6n$.
С другой стороны, так как каждые два числа совпадают в $m$ разрядах, то каждая пара чисел дает $n - m$ пар $(1,2)$.
Поэтому общее число таких пар $10 (n - m)$. Итак, $4n \leq 10 (n-m) \leq 6n$, откуда $\frac{2}{5} \leq \frac{m}{n} \leq \frac{3}{5}$.
Из цифр 1 и 2 составили пять $n$-значных чисел так, что у каждых двух чисел совпали цифры ровно в $m$ разрядах, но ни в одном разряде не совпали все пять чисел. Докажите, что
$\frac{2}{5} \leq \frac{m}{n} \leq \frac{3}{5}$.
Решение:
Рассмотрим всевозможные пары цифр, стоящих в разных числах в одном разряде. Поскольку нар чисел 10, то всего таких пар цифр будет $10n$. При этом пар разных цифр, т. е. пар $(1,2)$ в каждом разряде не меньше 4 и не больше 6, так что среди $10n$ выбранных пар общее количество пар $(1,2$) заключено между $4n$ и $6n$.
С другой стороны, так как каждые два числа совпадают в $m$ разрядах, то каждая пара чисел дает $n - m$ пар $(1,2)$.
Поэтому общее число таких пар $10 (n - m)$. Итак, $4n \leq 10 (n-m) \leq 6n$, откуда $\frac{2}{5} \leq \frac{m}{n} \leq \frac{3}{5}$.
