Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3655
2019-06-13 
а) Замок имеет форму (в плане) равностороннего треугольника со стороной 100 метров. Он разделен на 100 треугольных залов. Все стены залов имеют одинаковую длину - 10 метров. В середине каждой стены между залами сделана дверь. Докажите, что если человек захочет пройти по замку, побывав в каждом зале не более одного раза, то он сможет осмотреть не более 91 зала.
б) Каждая сторона правильного треугольника разбита на к равных частей. Через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам. В результате треугольник разбился на $k^2$ маленьких треугольничков. Назовем «цепочкой» последовательность треугольничков, в которой ни один треугольник не появляется дважды, а каждый последующий имеет общую сторону с предыдущим. Каково наибольшее возможное число треугольничков в «цепочке»?
Решение:
Раскрасим треугольники в два цвета, как показано на рис. а.
Черных треугольников получилось на $k$ больше, чем белых. Поэтому всего белых треугольников $\frac{1}{2}(k^2 - k)$, а черных $\frac{1}{2} (k^2 + k)$. B цепочке цвета треугольников чередуются. Поэтому черных треугольников в цепочке не больше чем $\frac{1}{2} (k^2 - k) + 1$. Всего же треугольников в ней не больше чем
$\frac{1}{2} (k^2 - k) + \frac{1}{2} (k^2 - k) + 1 = k^2 - k + 1$.
Пример цепочки, в которой число треугольников в точности равно $k^2 - к + 1$, показан на рис. а.
а) Замок имеет форму (в плане) равностороннего треугольника со стороной 100 метров. Он разделен на 100 треугольных залов. Все стены залов имеют одинаковую длину - 10 метров. В середине каждой стены между залами сделана дверь. Докажите, что если человек захочет пройти по замку, побывав в каждом зале не более одного раза, то он сможет осмотреть не более 91 зала.
б) Каждая сторона правильного треугольника разбита на к равных частей. Через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам. В результате треугольник разбился на $k^2$ маленьких треугольничков. Назовем «цепочкой» последовательность треугольничков, в которой ни один треугольник не появляется дважды, а каждый последующий имеет общую сторону с предыдущим. Каково наибольшее возможное число треугольничков в «цепочке»?
Решение:
Раскрасим треугольники в два цвета, как показано на рис. а.
Черных треугольников получилось на $k$ больше, чем белых. Поэтому всего белых треугольников $\frac{1}{2}(k^2 - k)$, а черных $\frac{1}{2} (k^2 + k)$. B цепочке цвета треугольников чередуются. Поэтому черных треугольников в цепочке не больше чем $\frac{1}{2} (k^2 - k) + 1$. Всего же треугольников в ней не больше чем
$\frac{1}{2} (k^2 - k) + \frac{1}{2} (k^2 - k) + 1 = k^2 - k + 1$.
Пример цепочки, в которой число треугольников в точности равно $k^2 - к + 1$, показан на рис. а.
