Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3653
2019-06-13 
Сколько в выпуклом многоугольнике может быть сторон, равных по длине наибольшей диагонали?
Решение:
Предположим, что таких сторон больше двух. Выберем две из них $AB$ и $CD$, не имеющие общих вершин (это возможно, поскольку многоугольник, имеющий: диагонали, не является треугольником). Тогда хотя бы одна из диагоналей $AC$ или $BD$ длиннее стороны $AB$: если эти диагонали пересекаются в некоторой точке $K$, то
$AC + BD = AK + KC + BK + KD > AB + CD = 2 AB$.
Ответ: не более двух. Пример многоугольника, у которого две стороны равны наибольшей диагонали, см. на рис.
Сколько в выпуклом многоугольнике может быть сторон, равных по длине наибольшей диагонали?
Решение:
Предположим, что таких сторон больше двух. Выберем две из них $AB$ и $CD$, не имеющие общих вершин (это возможно, поскольку многоугольник, имеющий: диагонали, не является треугольником). Тогда хотя бы одна из диагоналей $AC$ или $BD$ длиннее стороны $AB$: если эти диагонали пересекаются в некоторой точке $K$, то
$AC + BD = AK + KC + BK + KD > AB + CD = 2 AB$.
Ответ: не более двух. Пример многоугольника, у которого две стороны равны наибольшей диагонали, см. на рис.
