Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3649
2019-06-13 
$h_k$ - апофема правильного $k$-угольника, вписанного в круг радиуса $R$. Докажите, что
$(n+1) h_{n+1} - n h_n > R$.
Решение:
Неравенство задачи равносильно соотношениям
$(n+1) \cos \frac{ \pi}{n+1} - n \cos \frac{ \pi}{n} > 1$,
или
$n \left ( \cos \frac{ \pi}{n+1} - \cos \frac{\pi}{n} \right ) > 1 - \cos \frac{ \pi}{n+1}$,
т.е.
$n \sin \frac {\pi}{2n (n+1)} \cdot \sin {2 \pi n}{2n (n+1)} = \sin^2 \frac{ \pi}{2(n+1)}$.
Последнее неравенство справедливо, так как
$\sin \frac {\pi (2n+1)}{2n (n+1)} > \sin \frac {2 \pi n}{2n (n+1)} = \sin \frac{ \pi}{n+1} > \sin \frac{ \pi}{2(n+1)}$
и
$n \sin \frac{ \pi}{2n(n+1)} \geq \sin \frac{ n \pi}{2n(n+1)} = \sin \frac{ \pi}{2(n+1)}$
(здесь мы воспользовались неравенством $n |\sin \alpha| \geq |\sin n \alpha|$, которое легко доказывается по индукции).
$h_k$ - апофема правильного $k$-угольника, вписанного в круг радиуса $R$. Докажите, что
$(n+1) h_{n+1} - n h_n > R$.
Решение:
Неравенство задачи равносильно соотношениям
$(n+1) \cos \frac{ \pi}{n+1} - n \cos \frac{ \pi}{n} > 1$,
или
$n \left ( \cos \frac{ \pi}{n+1} - \cos \frac{\pi}{n} \right ) > 1 - \cos \frac{ \pi}{n+1}$,
т.е.
$n \sin \frac {\pi}{2n (n+1)} \cdot \sin {2 \pi n}{2n (n+1)} = \sin^2 \frac{ \pi}{2(n+1)}$.
Последнее неравенство справедливо, так как
$\sin \frac {\pi (2n+1)}{2n (n+1)} > \sin \frac {2 \pi n}{2n (n+1)} = \sin \frac{ \pi}{n+1} > \sin \frac{ \pi}{2(n+1)}$
и
$n \sin \frac{ \pi}{2n(n+1)} \geq \sin \frac{ n \pi}{2n(n+1)} = \sin \frac{ \pi}{2(n+1)}$
(здесь мы воспользовались неравенством $n |\sin \alpha| \geq |\sin n \alpha|$, которое легко доказывается по индукции).
