Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3647
2019-06-13 
На доске написано уравнение
$x^3 + \cdots + x^2 + \cdots + x + \cdots = 0$.
Двое играют в такую игру. Первый ставит на любое из пустых мест целое число, отличное от нуля (положительное или отрицательное). Затем второй ставит целое число на одно из оставшихся мест. Наконец, первый ставит целое число на последнее свободное место, Докажите, что первый может играть так, чтобы независимо от хода второго все три корня получившегося уравнения оказались целыми числами.
Решение:
Если первый игрок поставит -1 перед $x$ в первой степени, а при втором своем ходе он поставит на последнее оставшееся место число, противоположное тому, которое поставил второй, то получится многочлен вида $x^3 - ax^2 - x + a = (x^2 - 1) (x - a)$. Корни этого многочлена $-1, 1, a$ - целые числа.
На доске написано уравнение
$x^3 + \cdots + x^2 + \cdots + x + \cdots = 0$.
Двое играют в такую игру. Первый ставит на любое из пустых мест целое число, отличное от нуля (положительное или отрицательное). Затем второй ставит целое число на одно из оставшихся мест. Наконец, первый ставит целое число на последнее свободное место, Докажите, что первый может играть так, чтобы независимо от хода второго все три корня получившегося уравнения оказались целыми числами.
Решение:
Если первый игрок поставит -1 перед $x$ в первой степени, а при втором своем ходе он поставит на последнее оставшееся место число, противоположное тому, которое поставил второй, то получится многочлен вида $x^3 - ax^2 - x + a = (x^2 - 1) (x - a)$. Корни этого многочлена $-1, 1, a$ - целые числа.
