Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3646
2019-06-13 
Рассматривается выпуклый пятиугольник, у которого длины всех сторон равны.
а) Докажите, что внутри него найдется такая точка, лежащая на наибольшей диагонали, из которой все стороны видны под углами, не превышающими прямого.
б) Докажите, что круги, построенные на его сторонах как на диаметрах, не покрывают пятиугольник целиком.
Решение:
а) Если $K$ - середина наибольшей диагонали $AD$ выпуклого пятиугольника $ABCDE$, длины всех сторон которого равны $a$, то $\angle AKE = \angle EKD = 90^{\circ}$. Поскольку $AC \leq AD$, то $\angle BAC > \angle DAE$; тем более $\angle BAK > \angle KAE$. Из этого следует, что точки $A$ к $B$ лежат по одну сторону от прямой $EK$. Так же доказывается, что точки $C$ и $D$ тоже лежат по одну сторону от прямой $EK$. Отсюда сразу получается, что $\angle BKA < 90^{\circ}$ и $\angle CKD < 90^{\circ}$.
Предположим, что $\angle BKC \geq 90^{\circ}$, тогда $BK < a$ и $CK < a$, а так как $AK < a$ и $KD < a$, то $\angle AKB > 60^{\circ}$ и $\angle CKB > 60^{\circ}$ (против большей стороны треугольника лежит больший угол); но это невозможно, ибо $\angle AКВ + \angle BKC + \angle CKD = 180^{\circ}$. Следовательно, $\angle BKC < 90^{\circ}$.
Мы доказали, что точка $K$ удовлетворяет условию задачи.
б) Если на продолжении отрезка $EK$ взять точку $M$, очень близкую к точке $K$, то все углы $AMB, BMC, CMD, DME$ и $EMA$ будут острыми. Поэтому точка $M$ не может принадлежать ни одному из полукругов, построенных на сторонах пятиугольника как на диаметрах.
Рассматривается выпуклый пятиугольник, у которого длины всех сторон равны.
а) Докажите, что внутри него найдется такая точка, лежащая на наибольшей диагонали, из которой все стороны видны под углами, не превышающими прямого.
б) Докажите, что круги, построенные на его сторонах как на диаметрах, не покрывают пятиугольник целиком.
Решение:
а) Если $K$ - середина наибольшей диагонали $AD$ выпуклого пятиугольника $ABCDE$, длины всех сторон которого равны $a$, то $\angle AKE = \angle EKD = 90^{\circ}$. Поскольку $AC \leq AD$, то $\angle BAC > \angle DAE$; тем более $\angle BAK > \angle KAE$. Из этого следует, что точки $A$ к $B$ лежат по одну сторону от прямой $EK$. Так же доказывается, что точки $C$ и $D$ тоже лежат по одну сторону от прямой $EK$. Отсюда сразу получается, что $\angle BKA < 90^{\circ}$ и $\angle CKD < 90^{\circ}$.
Предположим, что $\angle BKC \geq 90^{\circ}$, тогда $BK < a$ и $CK < a$, а так как $AK < a$ и $KD < a$, то $\angle AKB > 60^{\circ}$ и $\angle CKB > 60^{\circ}$ (против большей стороны треугольника лежит больший угол); но это невозможно, ибо $\angle AКВ + \angle BKC + \angle CKD = 180^{\circ}$. Следовательно, $\angle BKC < 90^{\circ}$.
Мы доказали, что точка $K$ удовлетворяет условию задачи.
б) Если на продолжении отрезка $EK$ взять точку $M$, очень близкую к точке $K$, то все углы $AMB, BMC, CMD, DME$ и $EMA$ будут острыми. Поэтому точка $M$ не может принадлежать ни одному из полукругов, построенных на сторонах пятиугольника как на диаметрах.
