Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3643
2019-06-13 
В пространстве расположены $n$ точек так, что любые три из них являются вершинами треугольника, один из углов которого больше $120^{\circ}$. Докажите, что эти точки можно обозначить буквами $A_1, A_2, \cdots, A_n$ таким образом, что каждый из углов $A_iA_jA_k$, где $1 \leq i < j < k \leq n$ будет больше $120^{\circ}$.
Решение:
Выберем из нашей системы точек две, расстояние между которыми наибольшее: пусть, например, это точки $A$ и $B$.
Докажем, что каждый из углов $XAY$ (и $XBY$) где $X$ и $Y$ - какие-то из данных точек, меньше $120^{\circ}$. В самом деле, так как в треугольниках $AXB$ и $AYB$ сторона $AB$ наибольшая, то $\angle AXB > 120^{\circ}$ и $\angle AXB > 120^{\circ}$. Поэтому $\angle XAB < 60^{\circ}$ и $\angle YAB < 60^{\circ}$, а так как плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух остальных плоских углов, то $\angle XAY < \angle XAB + \angle YAB < 120^{\circ}$.
Таким образом, нумерация должна начинаться с точки $A$ и заканчиваться на точке $B$. Заметим, что все расстояния от точек нашей системы до точки $A$ различны. В самом деле, если $AX = AY$, то треугольник $AXY$ равнобедренный и $\angle XAY > 120^{\circ}$, что, как мы видели, невозможно. Занумеруем данные точки, положив $A_1 = A, A_2$ - ближайшая к $A$ точка системы, $A_3$ - ближайшая к $A$ из остальных точек, $\cdots, A_k$ - ближайшая из точек, не получивших еще номера, $\cdots, A_n = B$. Докажем, что такая нумерация удовлетворяет условию задачи.
Поскольку $\angle A_1A_iA_k > 120^{\circ}$ при $1 < i < к \leq n$, то достаточно доказать, что $\angle A_iA_jA_k > 120^{\circ}$ при $1 < i < j < к < n$.
Так как в системе $A_1. A_2, \cdots A_k$, точки $A_1$ и $A_k$ наиболее далекие, то $\angle A_iA_kA_j < 120^{\circ}$, как мы убедились в начале решения.
Докажем, что $\angle A_kA_iA_j < 120^{\circ}$. В самом деле, так как $\angle A_1A_iA_j > 120^{\circ}$ и $\angle A_1A_iA_k > 120^{\circ}$, то из неравенства $\angle A_kA_iA_j \leq 120^{\circ}$ вытекало бы, что сумма плоских углов трехгранного угла с вершиной $A_i$ больше $360^{\circ}$.
Итак, $\angle A_iA_jA_k > 120^{\circ}$ при любых $1 \leq i < j < к \leq n$. Утверждение доказано.
По существу в этой задаче установлено, что отношение $\angle A_iA_jA_k > 120^{\circ}$ обладает теми же свойствами, что и отношение «$A_j$ лежит между $A_i$ и $A_k$» для точек на прямой, т. е. что это отношение позволяет навести «порядок» в данном множестве. Величину $120^{\circ}$ здесь нельзя заменить меньшей.
В пространстве расположены $n$ точек так, что любые три из них являются вершинами треугольника, один из углов которого больше $120^{\circ}$. Докажите, что эти точки можно обозначить буквами $A_1, A_2, \cdots, A_n$ таким образом, что каждый из углов $A_iA_jA_k$, где $1 \leq i < j < k \leq n$ будет больше $120^{\circ}$.
Решение:
Выберем из нашей системы точек две, расстояние между которыми наибольшее: пусть, например, это точки $A$ и $B$.
Докажем, что каждый из углов $XAY$ (и $XBY$) где $X$ и $Y$ - какие-то из данных точек, меньше $120^{\circ}$. В самом деле, так как в треугольниках $AXB$ и $AYB$ сторона $AB$ наибольшая, то $\angle AXB > 120^{\circ}$ и $\angle AXB > 120^{\circ}$. Поэтому $\angle XAB < 60^{\circ}$ и $\angle YAB < 60^{\circ}$, а так как плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух остальных плоских углов, то $\angle XAY < \angle XAB + \angle YAB < 120^{\circ}$.
Таким образом, нумерация должна начинаться с точки $A$ и заканчиваться на точке $B$. Заметим, что все расстояния от точек нашей системы до точки $A$ различны. В самом деле, если $AX = AY$, то треугольник $AXY$ равнобедренный и $\angle XAY > 120^{\circ}$, что, как мы видели, невозможно. Занумеруем данные точки, положив $A_1 = A, A_2$ - ближайшая к $A$ точка системы, $A_3$ - ближайшая к $A$ из остальных точек, $\cdots, A_k$ - ближайшая из точек, не получивших еще номера, $\cdots, A_n = B$. Докажем, что такая нумерация удовлетворяет условию задачи.
Поскольку $\angle A_1A_iA_k > 120^{\circ}$ при $1 < i < к \leq n$, то достаточно доказать, что $\angle A_iA_jA_k > 120^{\circ}$ при $1 < i < j < к < n$.
Так как в системе $A_1. A_2, \cdots A_k$, точки $A_1$ и $A_k$ наиболее далекие, то $\angle A_iA_kA_j < 120^{\circ}$, как мы убедились в начале решения.
Докажем, что $\angle A_kA_iA_j < 120^{\circ}$. В самом деле, так как $\angle A_1A_iA_j > 120^{\circ}$ и $\angle A_1A_iA_k > 120^{\circ}$, то из неравенства $\angle A_kA_iA_j \leq 120^{\circ}$ вытекало бы, что сумма плоских углов трехгранного угла с вершиной $A_i$ больше $360^{\circ}$.
Итак, $\angle A_iA_jA_k > 120^{\circ}$ при любых $1 \leq i < j < к \leq n$. Утверждение доказано.
По существу в этой задаче установлено, что отношение $\angle A_iA_jA_k > 120^{\circ}$ обладает теми же свойствами, что и отношение «$A_j$ лежит между $A_i$ и $A_k$» для точек на прямой, т. е. что это отношение позволяет навести «порядок» в данном множестве. Величину $120^{\circ}$ здесь нельзя заменить меньшей.
