Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3642
2019-06-13 
Дано натуральное число $n$. Выпишем все дроби вида $\frac{1}{pq}$, где $p$ и $q$ взаимно просты, $0 < p < q \leq n, p + q > n$. Докажите, что сумма всех таких дробей равна 1/2.
Решение:
Утверждение задачи можно доказать по индукции.
При $n = 1$ оно справедливо: $\frac{1}{ 1 \cdot 1} = 1$. При переходе от $n - 1$ к $n$ мы должны выбросить все дроби $\frac{1}{pq}$ со взаимно простыми $p$ и $q$, для которых $p < q, p + q = n$, $p$ и $q$ взаимно просты, и добавить все дроби вида $\frac{1}{pn}$, где $p < n$, $p$ и $n$ взаимно просты.
Пусть $\frac{1}{pq}$ - одна из выброшенных дробей. Так как
$\frac{1}{pq} = \frac{1}{p(n-p)} = \frac{1}{pn} + \frac{1}{(n-p)n}$,
то ее удаление из суммы компенсируется появлением двух новых дробей $\frac{1}{pn}$ и $\frac{1}{(n-p)n}$, которые удовлетворяют условиям задачи.
Таким образом, при переходе от $n - 1$ к $n$ сумма не меняется.
Дано натуральное число $n$. Выпишем все дроби вида $\frac{1}{pq}$, где $p$ и $q$ взаимно просты, $0 < p < q \leq n, p + q > n$. Докажите, что сумма всех таких дробей равна 1/2.
Решение:
Утверждение задачи можно доказать по индукции.
При $n = 1$ оно справедливо: $\frac{1}{ 1 \cdot 1} = 1$. При переходе от $n - 1$ к $n$ мы должны выбросить все дроби $\frac{1}{pq}$ со взаимно простыми $p$ и $q$, для которых $p < q, p + q = n$, $p$ и $q$ взаимно просты, и добавить все дроби вида $\frac{1}{pn}$, где $p < n$, $p$ и $n$ взаимно просты.
Пусть $\frac{1}{pq}$ - одна из выброшенных дробей. Так как
$\frac{1}{pq} = \frac{1}{p(n-p)} = \frac{1}{pn} + \frac{1}{(n-p)n}$,
то ее удаление из суммы компенсируется появлением двух новых дробей $\frac{1}{pn}$ и $\frac{1}{(n-p)n}$, которые удовлетворяют условиям задачи.
Таким образом, при переходе от $n - 1$ к $n$ сумма не меняется.
