Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3641
2019-06-13 
Каково наименьшее натуральное число $a$, для которого найдется квадратный трехчлен с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом $a$, имеющий два различных положительных корня, меньших единицы?
Решение:
Пусть $f(x) = ax^2 + bx + c = a(x - x_1) (x - x_2)$, где $0 < x_1 < 1$ и $0 < x_2 < 1$, числа $a, b, c$ целые, $a > 0$.
Тогда $f(0)$ и $f(1)$ - целые положительные числа, поэтому $f(0) \cdot f(1) \geq 1$, т. е. $a^2x_1(1 - x_1)x_2(1 - x_2) \geq 1$.
Заметим теперь, что всегда $x(1 - x) \leq \frac{1}{4}$, причем равенство возможно только при $x = \frac{1}{2}$. Поскольку числа $x_1$ и $x_2$ различны, a $x_1(1 - x_1)$ и $x_2(1 - x_2)$ положительные, то $x_1 (1 - x_1) \cdot x_2(1 - x_2) < \frac{1}{16}$.
Следовательно, $a^2 > 16$, т. е. $a > 4$.
При $a = 5$ получаем квадратное уравнение $5x^2 - 5x + 1 = 0$, которое имеет два различных корня, принадлежащих отрезку $[0; 1]$.
Ответ: $a = 5$.
Каково наименьшее натуральное число $a$, для которого найдется квадратный трехчлен с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом $a$, имеющий два различных положительных корня, меньших единицы?
Решение:
Пусть $f(x) = ax^2 + bx + c = a(x - x_1) (x - x_2)$, где $0 < x_1 < 1$ и $0 < x_2 < 1$, числа $a, b, c$ целые, $a > 0$.
Тогда $f(0)$ и $f(1)$ - целые положительные числа, поэтому $f(0) \cdot f(1) \geq 1$, т. е. $a^2x_1(1 - x_1)x_2(1 - x_2) \geq 1$.
Заметим теперь, что всегда $x(1 - x) \leq \frac{1}{4}$, причем равенство возможно только при $x = \frac{1}{2}$. Поскольку числа $x_1$ и $x_2$ различны, a $x_1(1 - x_1)$ и $x_2(1 - x_2)$ положительные, то $x_1 (1 - x_1) \cdot x_2(1 - x_2) < \frac{1}{16}$.
Следовательно, $a^2 > 16$, т. е. $a > 4$.
При $a = 5$ получаем квадратное уравнение $5x^2 - 5x + 1 = 0$, которое имеет два различных корня, принадлежащих отрезку $[0; 1]$.
Ответ: $a = 5$.
