Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3640
2019-06-13 
$a, b, c$ и $d$ - положительные числа. Докажите, что среди неравенств
$a + b < c + d$,
$(a + b)(c + d) < ab + cd$,
$(a + b)cd < ab (c + d)$
есть хотя бы одно неверное,
Решение:
Перемножив первое и второе неравенства, получим $(a + b)^2 < ab + cd$, но $(a + b)^2 \geq 4ab$ и, следовательно, $ab + cd \geq 4ab$, т. е. $cd \geq 3ab$.
Перемножив второе и третье неравенства, получаем $ab (ab + cd) > (а + b)^2 cd \geq 4abcd$, откуда $ab + cd > 4cd$, т. е. $ab > 3cd$.
Итак, одновременно $ab > 3cd$ и $cd > 3ab$, что невозможно.
$a, b, c$ и $d$ - положительные числа. Докажите, что среди неравенств
$a + b < c + d$,
$(a + b)(c + d) < ab + cd$,
$(a + b)cd < ab (c + d)$
есть хотя бы одно неверное,
Решение:
Перемножив первое и второе неравенства, получим $(a + b)^2 < ab + cd$, но $(a + b)^2 \geq 4ab$ и, следовательно, $ab + cd \geq 4ab$, т. е. $cd \geq 3ab$.
Перемножив второе и третье неравенства, получаем $ab (ab + cd) > (а + b)^2 cd \geq 4abcd$, откуда $ab + cd > 4cd$, т. е. $ab > 3cd$.
Итак, одновременно $ab > 3cd$ и $cd > 3ab$, что невозможно.
