Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3636
2019-06-13 
Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$, длины всех сторон и диагоналей которого рациональны. Пусть $O$ - точка пересечения диагоналей. Докажите, что длина отрезка $AO$ - рациональное число.
Решение:
Пусть $\angle ABC = \beta, \angle ABD = \beta_1; \angle DBC = \beta_2$. Применяя теорему синусов к треугольникам $AOB$ и $BOC$, получим
$\frac{AO}{OC} = \frac{AO}{AB} \cdot \frac{BC}{OC} \cdot \frac{AB}{BC} = \frac{AB}{BC} \cdot \frac{ \sin \beta_1}{ \sin \beta_2}$.
Так как $AB$ и $BC$ рациональны, то достаточно доказать рациональность отношения синусов.
Из теоремы косинусов и рациональности длин сторон и диагоналей следует, что числа $\cos \beta$, $\cos \beta_1$ и $\cos \beta_2$ рациональны. (Например, $\cos \beta = \frac {AB^2 + BC^2 - AC^2}{2AB \cdot BC}$.) Рациональны также числа $\sin \beta_1 \sin \beta_2$ (так как $\cos \beta = \cos \beta_1 \cos \beta_2 - \sin \beta_1 \sin \beta_2)$, $\sin \beta_2^2 = 1 - \cos^2 \beta_2$, и их отношение $\frac{ \sin \beta_1}{ \sin \beta_2}$.
Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$, длины всех сторон и диагоналей которого рациональны. Пусть $O$ - точка пересечения диагоналей. Докажите, что длина отрезка $AO$ - рациональное число.
Решение:
Пусть $\angle ABC = \beta, \angle ABD = \beta_1; \angle DBC = \beta_2$. Применяя теорему синусов к треугольникам $AOB$ и $BOC$, получим
$\frac{AO}{OC} = \frac{AO}{AB} \cdot \frac{BC}{OC} \cdot \frac{AB}{BC} = \frac{AB}{BC} \cdot \frac{ \sin \beta_1}{ \sin \beta_2}$.
Так как $AB$ и $BC$ рациональны, то достаточно доказать рациональность отношения синусов.
Из теоремы косинусов и рациональности длин сторон и диагоналей следует, что числа $\cos \beta$, $\cos \beta_1$ и $\cos \beta_2$ рациональны. (Например, $\cos \beta = \frac {AB^2 + BC^2 - AC^2}{2AB \cdot BC}$.) Рациональны также числа $\sin \beta_1 \sin \beta_2$ (так как $\cos \beta = \cos \beta_1 \cos \beta_2 - \sin \beta_1 \sin \beta_2)$, $\sin \beta_2^2 = 1 - \cos^2 \beta_2$, и их отношение $\frac{ \sin \beta_1}{ \sin \beta_2}$.
