Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3635
2019-06-13 
Последовательность чисел $a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n$ удовлетворяет следующим условиям:
$a_1 = 0, |a_2| = |a_1 + 1|, |a_3| = |a_2 + 1|, \cdots, |a_n| = |a_{n-1} + 1|$.
Докажите, что $\frac {a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geq - \frac{1}{2}$
Решение:
Возведем все равенства $a_1 = 0; |a_2| = |a_1 + 1|, \cdots, |a_{n+1}| = |a_n + 1|$ в квадрат и сложим. После сокращений получим $ a_{n+1} = 2(a_1 + a_2 + \cdots + a_n) + n \geq 0$, откуда $a_1 + a_2 + \cdots + a_n \geq - \frac{n}{2}$.
Другое решение (по индукции) можно получить, заметив, что удаление пары последовательных членов $a_n \geq 0, а_{n+1} = - a_n - 1$ со средним -1/2 приводит к допустимой последовательности.
Оценка $(-n/2)$ для суммы чисел в этой задаче является точной; в качестве примера годится любой набор, заканчивающийся числом - 1 или (при нечетном $n$).
Последовательность чисел $a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n$ удовлетворяет следующим условиям:
$a_1 = 0, |a_2| = |a_1 + 1|, |a_3| = |a_2 + 1|, \cdots, |a_n| = |a_{n-1} + 1|$.
Докажите, что $\frac {a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geq - \frac{1}{2}$
Решение:
Возведем все равенства $a_1 = 0; |a_2| = |a_1 + 1|, \cdots, |a_{n+1}| = |a_n + 1|$ в квадрат и сложим. После сокращений получим $ a_{n+1} = 2(a_1 + a_2 + \cdots + a_n) + n \geq 0$, откуда $a_1 + a_2 + \cdots + a_n \geq - \frac{n}{2}$.
Другое решение (по индукции) можно получить, заметив, что удаление пары последовательных членов $a_n \geq 0, а_{n+1} = - a_n - 1$ со средним -1/2 приводит к допустимой последовательности.
Оценка $(-n/2)$ для суммы чисел в этой задаче является точной; в качестве примера годится любой набор, заканчивающийся числом - 1 или (при нечетном $n$).
