Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3634
2019-06-13 
Вписанная в треугольник $ABC$ окружность касается стороны $AC$ в точке $K$. Докажите, что прямая, соединяющая середину стороны $AC$ с центром вписанной окружности, делит отрезок $BK$ пополам.
Решение:
Пусть $L$ - диаметрально противоположная $K$ точка вписанной окружности с центром $O$, $D$ - середина отрезка $AC$, точка его пересечения с прямой $BL$. Достаточно доказать, что $ED = DK$ (тогда $DO$ идет по средней линии $\triangle EBK$), т. е. что $AE = KC$.
Заметим, что при гомотетии с центром $B$, переводящей вписанную в $\triangle ABC$ окружность во вневписанную (касающуюся $AC$ и продолжений сторон $BA$ и $BC$), точка $L$ переходит в точку $E$, которая тем самым является точкой касания вневписанной окружности с $AC$. Поскольку отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны по длине, обе суммы $AK + AE$ и $CK + CE$ равны отрезкам прямых $BA$ и $BC$ между точками касания, поэтому
$AK + AE = CK + CE$ и $AE = KC$.
Вписанная в треугольник $ABC$ окружность касается стороны $AC$ в точке $K$. Докажите, что прямая, соединяющая середину стороны $AC$ с центром вписанной окружности, делит отрезок $BK$ пополам.
Решение:
Пусть $L$ - диаметрально противоположная $K$ точка вписанной окружности с центром $O$, $D$ - середина отрезка $AC$, точка его пересечения с прямой $BL$. Достаточно доказать, что $ED = DK$ (тогда $DO$ идет по средней линии $\triangle EBK$), т. е. что $AE = KC$.
Заметим, что при гомотетии с центром $B$, переводящей вписанную в $\triangle ABC$ окружность во вневписанную (касающуюся $AC$ и продолжений сторон $BA$ и $BC$), точка $L$ переходит в точку $E$, которая тем самым является точкой касания вневписанной окружности с $AC$. Поскольку отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны по длине, обе суммы $AK + AE$ и $CK + CE$ равны отрезкам прямых $BA$ и $BC$ между точками касания, поэтому
$AK + AE = CK + CE$ и $AE = KC$.
