Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3631
2019-06-13 
Известно, что среди чисел $a_1, a_2, \cdots, a_n$ встречаются по разу числа $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \cdots \frac{1}{n}$ и среди чисел $b_1, b_2, \cdots, b_n$ - тоже. Известно, кроме того, что $a_1 + b_1 \geq a_2 + b_2 \geq a_3 + b_3 \geq \cdots \geq a_n + b_n$. Докажите, что $a_m + b_m \leq \frac{4}{m}$ для всех $m$ от 1 до $n$.
Решение:
Для любого $m (1 \leq m \leq n)$ среди $m$ пар ($a_k,b_k$) $1 \leq k \leq m$, одно из неравенств $a_k \geq b_k$ или $b_k \geq a_k$ выполнено не менее чем для $\frac{m}{2}$ пар.
Пусть, например, $b_k \geq a_k$ не менее чем в $\frac{m}{2}$ парах. Если $b_i$ - наименьшее из этих $b_k$, то $b_i \leq \frac{2}{m}$. Поэтому $a_i + b_i \leq 2b_i \leq \frac{4}{m}$, а поскольку $i \leq m$, то $a_m + b_m \leq a_i + b_i \leq \frac{4}{m}$.
Известно, что среди чисел $a_1, a_2, \cdots, a_n$ встречаются по разу числа $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \cdots \frac{1}{n}$ и среди чисел $b_1, b_2, \cdots, b_n$ - тоже. Известно, кроме того, что $a_1 + b_1 \geq a_2 + b_2 \geq a_3 + b_3 \geq \cdots \geq a_n + b_n$. Докажите, что $a_m + b_m \leq \frac{4}{m}$ для всех $m$ от 1 до $n$.
Решение:
Для любого $m (1 \leq m \leq n)$ среди $m$ пар ($a_k,b_k$) $1 \leq k \leq m$, одно из неравенств $a_k \geq b_k$ или $b_k \geq a_k$ выполнено не менее чем для $\frac{m}{2}$ пар.
Пусть, например, $b_k \geq a_k$ не менее чем в $\frac{m}{2}$ парах. Если $b_i$ - наименьшее из этих $b_k$, то $b_i \leq \frac{2}{m}$. Поэтому $a_i + b_i \leq 2b_i \leq \frac{4}{m}$, а поскольку $i \leq m$, то $a_m + b_m \leq a_i + b_i \leq \frac{4}{m}$.
