Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3629
2019-06-13 
Докажите, что уравнение
$x^2 + x + 1 = py$
имеет решение в целых числах $(x, y)$ для бесконечного числа простых чисел $p$.
Решение:
Доказательство утверждения этой задачи напоминает принадлежащее Евклиду доказательство бесконечности множества простых чисел.
Предположим, что уравнение $x^2 + x + 1 = py$ имеет целочисленные решения $(x, y)$ лишь для конечного числа простых чисел $p_1, p_2, \cdots, p_m$.
Пусть $P = p_1p_2 \cdot p_m$. Тогда число $P^2 + P + 1$ не делится ни на одно из чисел $p_1, p_2, \cdots, p_m$ и, следовательно, имеет простой делитель $q$, не совпадающий ни с одним из этих чисел. Тем самым, уравнение $x^2 + x + 1 = qy$ имеет целочисленное решение $\left ( P, \frac{P^2 + P + 1}{q} \right )$. Получено противоречие.
Докажите, что уравнение
$x^2 + x + 1 = py$
имеет решение в целых числах $(x, y)$ для бесконечного числа простых чисел $p$.
Решение:
Доказательство утверждения этой задачи напоминает принадлежащее Евклиду доказательство бесконечности множества простых чисел.
Предположим, что уравнение $x^2 + x + 1 = py$ имеет целочисленные решения $(x, y)$ лишь для конечного числа простых чисел $p_1, p_2, \cdots, p_m$.
Пусть $P = p_1p_2 \cdot p_m$. Тогда число $P^2 + P + 1$ не делится ни на одно из чисел $p_1, p_2, \cdots, p_m$ и, следовательно, имеет простой делитель $q$, не совпадающий ни с одним из этих чисел. Тем самым, уравнение $x^2 + x + 1 = qy$ имеет целочисленное решение $\left ( P, \frac{P^2 + P + 1}{q} \right )$. Получено противоречие.
